傅里叶变换的线性和频移特性

傅里叶变换

对于连续时间函数 $$x(t),傅立叶变换可以定义为,

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

傅里叶变换的线性特性

Statement - 傅立叶变换的线性特性表明,两个信号的加权和的傅立叶变换等于它们各自傅立叶变换的加权和。

因此,如果

$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1}(\omega)\:\:and\:\:x_{2}\overset{FT}{\leftrightarrow }X_{2}(\omega)}$$

那么,根据傅里叶变换的线性特性,

$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$

其中,ab是常数。

证明

根据傅里叶变换的定义,我们有,

$$\mathrm{F[ x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty} x(t)e^{-j \omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=\int_{−\infty}^{\infty}[ax_{1 }(t)+bx_{2}(t)]e^{-j \omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}ax_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+\int_{−\infty }^{\infty}bx_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=a\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+b\int_{ −\infty}^{\infty}x_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$

$$\mathrm{\therefore\:F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$

或者,也可以写成,

$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$

傅里叶变换的频移特性

陈述– 傅立叶变换的频移特性表明,时域信号 $$乘以x(t)指数 $(e^{j \omega_{0} t })$会导致频谱偏移 $\omega_{0 }$。因此,如果

$$\mathrm{ x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么,根据频移特性,

$$\mathrm{e^{j \omega_{0} t }\: x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega - \omega_{0})}$$

证明 

根据傅里叶变换的定义,我们有,

$$\mathrm{F[ x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[e^{j \omega_{0} t} x(t)]=\int_{−\infty}^{\infty} e^{j \omega_{0 } t} x(t)e^{-j \omega_{0} t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty} x(t)e^{-j(\omega - \omega_{0})t}dt=X(\omega -\omega_{0})}$$

$$\mathrm{\therefore\:F[e^{j \omega_{0} t} x(t)]=X(\omega-\omega_{0})}$$

或者,也可以表示为,

$$\mathrm{e^{-j \omega_{0} t} x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega-\omega_{0})}$$

相似地,

$$\mathrm{e^{-j \omega_{0} t} x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega + \omega_{0})}$$

数值示例

使用傅里叶变换的线性和频移特性,找到 $[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]$的傅里叶变换。

解决方案 

鉴于,

$$\mathrm{ x(t)=cos\:\omega_{0} t\: u(t)}$$

使用欧拉公式,我们可以写出,

$$\mathrm{cos\:\omega_{0} t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \右]}$$

$$\mathrm{\therefore\: x(t)=cos\:\omega_{0} t\: u(t)=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}。u(t)\右 ]}$$

现在,$$的傅立叶变换x(t)是,

$$\mathrm{F[ x(t)]=F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=F\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_ {0} t}}{2}。u(t)\右 ]}$$

使用线性属性 $[即,ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)]$,我们得到,

$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=\frac{1}{2}F[e^{j \omega_{0} t} u(t)]+\frac{1}{2 }F[e^{-j \omega_{0} t} u(t)]}$$

现在,使用傅立叶变换的频移属性 $[ie,e^{j\omega_{0}t } x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega - \omega_{0})]$,我们得到,

$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=\frac{1}{2}\{ F[ u(t)]\}_{\omega=(\omega-\omega_{0}) }+\frac{1}{2}\{ F[ u(t)]\}_{\omega=(\omega + \omega_{0})}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=\frac{1}{2} \left [\{ \pi\delta(\omega-\omega_{0} )+\frac{1}{j(\omega-\omega_{0})} \} +\{ \pi\delta(\omega+\omega_{0})+\frac{1}{j(\omega+\ omega_{0})} \} \right ]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=\frac{1}{2}\left [\pi\delta (\omega-\omega_{0}) + \pi\delta (\omega + \omega_{0}) + \frac{2j\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right ]}$$

因此,给定信号的傅里叶变换是,

$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=\left [\frac{\pi}{2}\delta (\omega-\omega_{0}) + \frac{\pi }{2}\delta (\omega + \omega_{0}) + \frac{j\omega}{\omega_{0}^{2}+(j\omega)^{2}}\right ]}$$

以上是 傅里叶变换的线性和频移特性 的全部内容, 来源链接: utcz.com/z/327422.html

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