拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
傅里叶变换
傅里叶变换是一种变换技术，用于将信号从连续时域变换到相应的频域。
在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是一个连续时域函数，那么它的傅里叶变换由下式给出，
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\ mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\左(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega t}}\:\mathit{dt}} \:\:\:\:\:\:... (1)}$$
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域的微分方程转换为频域或s域的代数方程。
在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为 -
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\ mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left (\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(2)} $$
其中，s 是一个复变量，由下式给出，
$$\mathrm{\mathit{s}\:\mathrm{=}\:\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}}$$
拉普拉斯和傅里叶变换之间的关系
根据傅里叶变换的定义，我们有一个时域函数的傅里叶变换 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是形式为指数函数的连续和$\mathit{e^{j\omega t}}$，这意味着它使用了正负频率波的加法。傅里叶变换用于求解与系统输入和输出相关的微分方程。
为了求解这些微分方程，首先将微分方程转换为代数方程，然后对代数方程进行操作以获得输出 $\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{ \omega}\right)}$作为频率响应 $\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$和输入 $\mathit{X}\ 的傅里叶变换的函数mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$系统。最后，通过对输出 $\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$进行傅里叶逆变换得到作为时间函数的输出。
但傅里叶变换对于许多信号不存在，例如 $\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|$，因为它不是绝对可积的。此外，为了分析不稳定的系统，不能使用傅里叶变换。
因此，在不能使用傅里叶变换的地方使用拉普拉斯变换。拉普拉斯变换重新定义了变换并包括指数收敛因子 σ 和 jω。因此，使用拉普拉斯变换，时域信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$可以表示为形式为 $\mathit{ e^{st}}$。
由于包含指数收敛因子 (σ)，函数 $\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|$变得绝对可积。因此，对于不存在傅里叶变换的此类函数，存在拉普拉斯变换。
现在，连续时间信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的傅里叶变换定义为 -
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{ x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega t}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\ :\:...(3)}$$
傅里叶逆变换由下式给出，
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{e^{\mathit{j\omega t}}\:\mathit{d\omega }}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$
将傅里叶变换定义中的 ω 替换为 $\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}$，我们得到，
$$\mathrm{\mathit{X}\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}\right)\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty } ^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathrm{\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\ mathit{j\omega} \right )}t}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(5)}$$
然后，傅里叶逆变换，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$由下式给出，
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\mathit{X}\mathrm{\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega} \right )}\mathit{e^{\mathrm{\left (\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega} \right )}t}\:\mathit{d\omega }}\:\:\:\:\:\:... (6)}$$
术语 $\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}$用 s 表示。然后，
$$\mathrm{\mathit{j}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{ds}}{\mathit{d\omega}}\:\mathrm{或}\:\mathit{d \omega}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{ds}}{\mathit{j}}}$$
将这些值放入等式(5)和(6)中，我们得到，
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s }\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x }\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:. ..(7)}$$
和
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi\mathit{j}}\ int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty } \right)}}^{\mathrm{\left(\sigma \mathrm{+}\mathit{j\infty} \right)}} \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{e^{\mathit{st}}\:\mathit{d\omega }}\:\:\:\: \:\:...(8)}$$
等式(7)和(8)构成双边拉普拉斯变换对或复傅里叶变换对。因此，拉普拉斯变换只是信号的复傅里叶变换。因此，傅里叶变换等价于沿s平面的虚轴计算的拉普拉斯变换，即
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s }\right)}|_{\mathit{s=j\omega}}}$$
换句话说，我们可以说函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的拉普拉斯变换等于 $\mathit{x}\mathrm 的傅里叶变换{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{\sigma t}}}$，即，
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right]}\:\mathrm{=}\:\ mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{\sigma t}}} \right ]} }$$
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