什么是 Z 变换？

  • Z时代
  • 2024-01-10
  • 分类：综合

什么是 Z 变换？

Z变换(ZT)是一种数学工具，用于将时域差分方程转换为z域代数方程。

Z 变换是分析线性位移不变 (LSI) 系统的非常有用的工具。LSI 离散时间系统由差分方程表示。为了求解这些时域差分方程，首先使用 Z 变换将它们转换为 z 域中的代数方程，然后在 z 域中对代数方程进行处理，然后使用逆 Z 变换。

Z变换可以有两种类型，即。单边（或单面）和双边（或双面）。

在数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是离散时间信号或序列，则其双边或双边 Z 变换定义为 -

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]=X\left ( z \right )=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

其中，z 是一个复变量，由下式给出，

$$\mathrm{\mathit{z\mathrm{\, =\,}r\, e^{j\, \omega }}}$$

其中，r 是圆的半径。

此外，单边或单边 z 变换定义为 -

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\ sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

单边或单边 z 变换非常有用，因为我们主要处理因果序列。此外，它主要适用于求解具有初始条件的差分方程。

Z 变换的收敛区域 (ROC)

z 平面上的点集，对其进行离散时间序列 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$的 Z 变换，即 $\mathrm{\mathit{ X\left ( z \right )}}$收敛称为 Z 变换 $\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$的收敛区域 (ROC)。

对于任何给定的离散时间序列，Z 变换可能会收敛也可能不会收敛。如果函数 $\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$在 z 平面上没有点收敛，则序列 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \对 )}}$据说没有 z 变换。

Z变换的优缺点

以下是 Z 变换的优点-

  • Z 变换通过将描述系统的差分方程转换为简单的线性代数方程，使离散时间系统的分析更容易。

  • 时域中的卷积运算被转换为z域中的乘法。

  • 对于不存在离散时间傅里叶变换 (DTFT) 的信号，存在 Z 变换。

限制– Z 变换的主要限制是使用 Z 变换无法获得频域响应并且无法绘制。

数值例子

找到以下序列的 Z 变换 -

$$\mathrm{\mathit{y\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right )}}$$

解决方案

给定的离散时间序列是，

$$\mathrm{\mathit{y\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right )}}$$

根据 Z 变换的定义，我们得到，

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ y\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}Z \left [ x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right ) \right ]}}$$

$$\mathrm{\mathit{Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }\左 [ x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right ) \right ]z^{-n}\mathrm{\, =\,} \sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )z^{- n}}}$$

让 （

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