拉普拉斯变换的时标和频移特性
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域的微分方程转换为频域或s域的代数方程。
在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为 -
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\ mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left (\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(1)} $$
等式 (1) 给出了函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的双边拉普拉斯变换。但是对于因果信号，应用了单边拉普拉斯变换，定义为 -
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\ mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{ \left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(2 )}$$
拉普拉斯变换的时间尺度特性
声明- 拉普拉斯变换的时间缩放属性表明，如果，
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\数学{s}\right)}}$$
然后
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left|\mathit{ a}\right|}\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}}\right )}}$$
证明
根据拉普拉斯变换的定义，我们有，
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\ int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit {dt}}}$$
如果 $\mathit{t}\to \mathit{at}$，那么
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\ int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit {dt}}}$$
在上式的 RHS 中代入at = p ，则
$$\mathrm{\mathit{t}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{p}}{\mathit{a}}\:\mathrm{and}\:\mathit{dt}\ :\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{a}}\:\mathit{dp}}$$
$$\mathrm{\因此 \mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\ :\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{p}\right)}\mathit{e}^{-\mathrm{\left ( \ frac{\mathit{s}}{\mathit{a}} \right )\mathit{p}}}\:\frac{\mathit{dp}}{\mathit{a}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\ :\frac{1}{\mathit{a}}\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{p}\right)}\mathit{ e}^{-\mathrm{\left ( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}} \right )\mathit{p}}}\:\mathit{dp}\:\mathrm{= }\:\frac{1}{\mathit{a}}\mathit{X}\mathrm{\left ( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}} \right )}}$$
拉普拉斯变换的这个表达式对因子 a 的所有值都有效。因此，它可以写成
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\ frac{1}{\left|\mathit{a}\right|}\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}}\right )}}$$
或者也可以表示为，
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\:\frac{1}{\left|\ mathit{a}\right|}\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}}\right )}}$$
因此，它证明了拉普拉斯变换的时间缩放特性。
拉普拉斯变换的频移特性
声明- 拉普拉斯变换的频移特性表明，与复指数 $\mathit{e^{-at}}$相乘会在s域中引入 ' a的偏移。因此，如果，
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\数学{s}\right)}}$$
然后，根据频移性质，
$$\mathrm{\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit {X}\mathrm{\left(\mathit{s}\mathrm{+} \mathit{a}\right)}}$$
证明
根据拉普拉斯变换的定义，我们有，
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\ int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit {dt}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t }\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$
$$\mathrm{\因此 \mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left (\mathit{s}\mathrm{+}\mathit{a}\right)}}$$
或者也可以写成，
$$\mathrm{\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit {X}\mathrm{\left (\mathit{s}\mathrm{+}\mathit{a}\right)}}$$
类似地，如果函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$乘以复指数 $\mathit{e^{at}}$
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