傅里叶变换——存在的表示和条件

傅里叶变换

傅里叶变换被定义为一种变换技术，它将信号从连续时域变换到相应的频域，反之亦然。换言之，傅立叶变换是一种数学技术，可将时间函数x(t)$$转换为频率 X(ω) 的函数，反之亦然。

对于连续时间函数 $$，x(t)$$的傅立叶变换x(t)可以定义为

$$\mathrm{X(ω)=\int_{−\infty}^{\infty} x(t)\:e^{-j\omega t}dt}$$

傅里叶变换的幅度和相位表示是用于分析变换后的函数 X(ω) 的工具。函数 X(ω) 是频率 $\omega$的复值函数。因此，它可以写为 -

$$\mathrm{X(ω)=X_{real}(\omega)+X_{img}(\omega)... (2)}$$

在哪里，

因此，函数 $X(\omega)$的大小由下式给出，

$$\mathrm{|X(\omega)|=\sqrt{X_{real}^{2}(\omega)}+X_{img}^{2}(\omega)... (3)}$$

并且函数 $X(\omega)$的相位由下式给出，

$$\mathrm{\angle\:X(\omega)=\tan^{-1}\left (\frac{X_{real}(\omega)}{X_{img}(\omega)} \right ) … (4)}$$

笔记：

傅里叶变换并不适用于所有非周期信号。因此，要使函数 $x(t)$进行傅立叶变换，应满足以下条件（称为狄利克雷条件） -

$$\mathrm{\int_{−\infty}^{\infty}| X(t)|dt\:<\infty}$$

Dirichlet 条件是充分条件而不是必要条件，也就是说，满足这些条件的函数必然存在傅立叶变换。