信号与系统 - 傅里叶变换的共轭和自相关特性
傅里叶变换
对于连续时间函数x(t)， 的傅立叶变换x(t)可以定义为，
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
傅里叶变换的共轭性质
语句- 傅立叶变换的共轭性质指出，x(t)时域中函数的共轭导致其频域中的傅立叶变换共轭，并且 ω 被 (-ω) 替换，即，如果
$$\mathrm{ x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那么，根据傅立叶变换的共轭性质，
$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$
证明
根据傅里叶变换的定义，我们有
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
在两边取共轭，我们得到
$$\mathrm{X^*(\omega)=[\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt]^*}$$
$$\mathrm{\Rightarrow X^*(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{j\omega t}dt}$$
现在，通过将 (ω) 替换为 (-ω)，我们得到，
$$\mathrm{X^*(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{-j\omega t}dt=F[x^*(t )]}$$
$$\mathrm{\因此F[x^*(t)]=X^*(-\omega)}$$
或者，也可以表示为，
$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$
傅里叶变换的自相关特性
连续时间函数的自相关
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