信号与系统 - 傅里叶变换的共轭和自相关特性

傅里叶变换

对于连续时间函数x(t), 的傅立叶变换x(t)可以定义为,

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

傅里叶变换的共轭性质

语句- 傅立叶变换的共轭性质指出,x(t)时域中函数的共轭导致其频域中的傅立叶变换共轭,并且 ω 被 (-ω) 替换,即,如果

$$\mathrm{ x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么,根据傅立叶变换的共轭性质,

$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$

证明

根据傅里叶变换的定义,我们有

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

在两边取共轭,我们得到

$$\mathrm{X^*(\omega)=[\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt]^*}$$

$$\mathrm{\Rightarrow X^*(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{j\omega t}dt}$$

现在,通过将 (ω) 替换为 (-ω),我们得到,

$$\mathrm{X^*(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{-j\omega t}dt=F[x^*(t )]}$$

$$\mathrm{\因此F[x^*(t)]=X^*(-\omega)}$$

或者,也可以表示为,

$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$

傅里叶变换的自相关特性

连续时间函数的自相关

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