周期信号的傅里叶级数表示

什么是傅立叶级数？

在工程领域，大多数现象本质上都是周期性的，例如交流电和电压。这些周期函数可以通过称为傅立叶级数的过程分解为它们的组成部分来分析。

因此，傅立叶级数可以定义为 -

“用正交函数（即正弦和余弦函数）的线性组合来表示一定时间间隔内的周期信号被称为傅立叶级数。”

傅里叶级数仅适用于周期信号，即在 $(-\infty\:to\:\infty)$区间内周期性重复自身的信号，不能应用于非周期信号。虽然不是所有的周期信号都可以用傅立叶级数表示。信号的傅里叶级数分析也称为谐波分析。

信号的傅里叶级数表示可能具有以下三种形式 -

在三角傅里叶级数表示中，正交函数是三角函数，即

$$\mathrm{ x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n \omega_{0} t}$$

$$的余弦表示由x(t)下式给出，

$$\mathrm{ x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}[cos(n\omega_{0} t+\theta_{n})]}$$

在指数傅里叶级数表示中，正交函数是指数函数，即

$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}}$$

一个德国数学家狄利克雷规定的条件进行傅里叶级数的存在。如果周期信号x(t)满足称为狄利克雷条件的条件，则可以用傅立叶级数表示。这些条件如下 -

$$\mathrm{\int_{0}^{T} x(t)\:dt<\infty}$$

这四个条件是周期函数傅立叶级数存在的充分条件，但不是必要条件x(t)。这里，第四个条件称为弱狄利克雷条件。

如果一个函数满足弱狄利克雷条件，则保证该函数的傅里叶级数存在，但傅里叶级数可能不会在每一点都收敛。

的第二和第三个条件是已知的强狄利克雷条件。如果函数满足这两个条件，那么级数的收敛性也得到保证。