极坐标下二重积分问题?
一道很简单的二重积分问题，请问大佬，不按对称性的解法，按常规解法怎么算出结果的？
我算的总是不对... 还有对称性的解法, 为什么关于y = 0对称就能推出上图的表达式。 没找到对称性关于这点的知识点。
回答：
因为对， f(x,y) = y , f(x,-y) = -f(x,y)。所以他在关于 y=0 对称的两个积分区域上，结果绝对值相等，符号相反。因而在关于 y=0 对称的整个积分区域上 $$ \iint_{\sigma}yd\sigma=0 $$
或者可以这样写，对于关于y=0对称的i积分区域，
$$ \iint_{\sigma} f(x,y)dxdy = \int dx \int_{-y_0}^{y_0}f(x,y)dy $$
而由于 f(x,y) 对 y 是一个奇函数，所以 $$\int_{-y_0}^{y_0}f(x,y)dy = 0 $$
你的解法大体是对的，但是:
$$ \int_0^{2\pi} (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\sin \theta ) d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}d\theta +\int_0^{2\pi}\frac{1}{3}\sin \theta d\theta$$
你的前一项漏了积分，直接变成 1/2 了。然后，注意 cos(2 pi) = cos(0) = 1。
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