三角形中的样本随机点

  • Z时代
  • 2024-01-10
  • 分类：问答

假设你有一个顶点的三角形任意A，B和C。本文（第4.2节）说，您可以通过以下顶点的凸组合P从三角形内均匀生成一个随机点ABC：

P = (1 - sqrt(r1)) * A + (sqrt(r1) * (1 - r2)) * B + (sqrt(r1) * r2) * C

其中r1和r2是从中统一得出的[0, 1]，sqrt是平方根函数。

您如何证明在三角形内 均匀分布 的采样点ABC呢？

正如对mathoverflow问题的评论中指出的那样， Graphical

Gems讨论了该算法。

回答：

您具有从单位正方形到三角形的映射P（r1，r2）。均匀选择r1和r2会在单位平方中给出一个随机点。三角形中的图像根据映射P的雅可比行列式进行分布，结果证明它是一个常数。因此，图像分布也均匀。

实际上，要验证这一点，您只需要检查三分之一的非共线点A，B，C。仿射线性图具有恒定的Jacobian值，因此您可以应用其中的一个将任意三元组移到该标准位置，而不会影响分布。

最后，一个关于“为什么”的词：考虑由平行于BC边的线段填充的三角形。在P的公式中，变量r1选择该点将位于哪个线段，而r2确定该点在该线段上的位置。为了均匀起见，应平等对待给定线段上的所有点（因此在r2中为线性）。但是对于r1，由于某些片段比其他片段短，我们需要偏爱较长的片段，以实现均匀分布。公式中的sqrt（r1）对此进行了说明。

以上是 三角形中的样本随机点 的全部内容， 来源链接： utcz.com/qa/422212.html

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