【自考】数据结构第五章图,期末不挂科指南,第9篇

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图的基本概念

首先,你要明确图是什么样子的,就是下面这个样子的

图的定义与术语

有向图和无向图

直接对比图就可以看出来,有向图和无向图的区别了,这个没有什么难的。

有向图和无向图的表示法有略微的区别,注意看

G1有箭头,有向图,表示方法是 V={V~0~,V~1~,V~2~,V~3~} E = {<V~0~,V~1~>,<V~1~,V~2~>,<V~1~,V~0~>,<V~2~,V~0~>,<V~2~,V~3~>}

G2无箭头,无向图,表示方法是 V={V~0~,V~1~,V~2~,V~3~} E = {(V~0~,V~1~),(V~1~,V~2~),(V~0~,V~2~),(V~2~,V~3~)}

弧、弧头、弧尾:有向图的边称为弧。无向图叫做边。有序偶对<v,w>表示有向图从v到w的一条弧,v称为弧尾或始点,w称为弧头或终点。

任何两点之间都有边的无向图称为无向完全图。

任何两点之间都有弧的有向图称为有向完全图。

权、带权图:图的边附带数值,这个数值叫权。每条边都带权的图称为带权图。

顶点的度、入度、出度:

  1. 无向图中顶点v的度是与该顶点相关联的边的数目,记为D(v)。
  2. 有向图中,把以顶点v为终点的弧的数目称为v的入度,记为ID(v);把以顶点v为始点的弧的数目称为v的出度,记为OD(v)。有向图顶点v的度为入度和出度之和,即D(v) = ID(v)+ OD(v)。

简单路径、回路、简单回路:序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路。除了第一个顶点和最后一个顶点外,其余顶点不重复的回路,称为简单回路或简单环。

下面还有一些需要了解的术语

连通、连通图、连通分量、极大连通子图、强连通、强连通图、强连通分量、生成树、生成森林

如果精力足够,都看看吧

图的存储结构

图的存储结构有很多中,例如 邻接矩阵、邻接表、十字链表和邻接多重表

邻接矩阵

矩阵中标记1,有边,标记0,没有边

注意:无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵

带权图的邻接矩阵

邻接矩阵自考/期末考试真题

尝试着,画出无向图吧!

邻接表

邻接表是顺序存储与链式存储相结合的存储方法。

下图中,左侧是无向图,右侧是该无向图的邻接表,注意看,该符号,表示结束,没有连接的顶点了。

有向图及其类似,这个就不在做图扩充

图的遍历

图的遍历是指从图的某个顶点出发,系统地访问图的每个顶点,并且每个顶点只被访问一次。

遍历图的基本方法有两种:深度优先搜索广度优先搜索

连通图的深度优先搜索

深度优先,就是往下走,走不动了,返回上一级在走

连通图的广度优先搜索

顺着一个顶点,然后都遍历完。

图的应用

最小生成树的概念

概念:一个图的最小生成树是图所有生成树中权总和最小的生成树

构造最小生成树的Prim算法

每次都找权值最小的

看案例

构造最小生成树的克鲁斯卡尔算法单源最短路径 这两种算法,自己看一下吧。

拓扑排序

  1. AOV网

    工程或者某种流程可以分为若干个小的工程或阶段,这些小的工程或阶段就称为活动。

    如果以图中的顶点来表示活动,有向边表示活动之间的优先关系,这种用顶点表示活动的有向图称为AOV网。

  1. 拓扑排序

    设G=(V,E) 是一个具有n个顶点的有向图,V中顶点的序列v~1~,v~2~,...,v~n~称为一个拓扑序列,当且仅当该顶点序列满足下列条件:若在有向图G中,从顶点v~i~ ~ v~j~ 有一条路径,则在拓扑序列中顶点v~i~必须排在v~j~之前。找到一个有向图的一个拓扑序列的过程称为拓扑排序。完成拓扑排序的前提条件是AOV网中不允许出现回路。

拓扑排序算法的时间复杂度为O(n+e),n是图的顶点个数,e是图的弧的数目。

拓扑排序算法的基本步骤如下:

  1. 图中选择一个入度为0的顶点,输出该顶点
  2. 从图中删除该顶点及相关联的弧,调整被删弧的弧头结点的入度(入度减1);
  3. 重复执行上述两个步骤,直到所有的入度为0

好好理解一下拓扑排序算法吧

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画图说明步骤

更多图示: https://dwz.cn/r4lCXEuL

拓扑排序不唯一~

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