Python数学建模三剑客之Numpy
三剑客之Numpy
numpy是一个开源的python科学计算库，包含了很多实用的数学函数，涵盖线性代数、傅里叶变换和随机数生成等功能。最初的numpy其实是scipy的一部分，后来才从scipy中分离出来。
numpy不是python的标准库，需要单独安装。假定你的运行环境已经安装了python包管理工具pip，numpy的安装就非常简单：
pip install numpy
一、数组对象
ndarray是多维数组对象，也是numpy最核心的对象。在numpy中，数组的维度(dimensions)叫做轴(axes)，轴的个数叫做秩(rank)。通常，一个numpy数组的所有元素都是同一种类型的数据，而这些数据的存储和数组的形式无关。
下面的例子，创建了一个三维的数组（在导入numpy时，一般都简写成np）。
import numpy as npa = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
1、数据类型
numpy支持的数据类型主要有布尔型(bool)、整型(integrate)、浮点型(float)和复数型(complex)，每一种数据类型根据占用内存的字节数又分为多个不同的子类型。常见的数据类型见下表。
2、创建数组
通常，我们用np.array()创建数组。如果仅仅是创建一维数组，也可以使用np.arange()或者np.linspace()的方法。np.zeros()、np.ones()、np.eye()则可以构造特殊的数据。np.random.randint()和np.random.random()则可以构造随机数数组。
>>> np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) # 默认元素类型为int32array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
>>> np.array([[1,2,3],[4,5,6]], dtype=np.int8) # 指定元素类型为int8
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]], dtype=int8)
>>> np.arange(5) # 默认元素类型为int32
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> np.arange(3,8, dtype=np.int8) # 指定元素类型为int8
array([3, 4, 5, 6, 7], dtype=int8)
>>> np.arange(12).reshape(3,4) # 改变shape
array([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]])
>>> np.linspace(1,2,5) # 从1到2生成5个浮点数
array([ 1. , 1.25, 1.5 , 1.75, 2. ])
>>> np.zeros((2,3)) # 全0数组
array([[ 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0.]])
>>> np.ones((2,3)) # 全1数组
array([[ 1., 1., 1.],
[ 1., 1., 1.]])
>>> np.eye(3) # 主对角线元素为1其他元素为0
array([[ 1., 0., 0.],
[ 0., 1., 0.],
[ 0., 0., 1.]])
>>> np.random.random((2,3)) # 生成[0,1)之间的随机浮点数
array([[ 0.84731148, 0.8222318 , 0.85799278],
[ 0.59371558, 0.92330741, 0.04518351]])
>>> np.random.randint(0,10,(3,2)) # 生成[0,10)之间的随机整数
array([[2, 4],
[8, 3],
[8, 5]])
3、构造复杂数组
很多时候，我们需要从简单的数据结构，构造出复杂的数组。例如，用一维的数据生成二维格点。
（1）重复数组：tile
>>> a = np.arange(5)>>> a
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> np.tile(a, 2)
array([0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4])
>>> np.tile(a, (3,2))
array([[0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4]])
（2）重复元素：repeat
>>> a = np.arange(5)>>> a
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> a.repeat(2)
array([0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4])
（3）一维数组网格化：meshgrid
>>> a = np.arange(5)>>> b = np.arange(5,10)
>>> np.meshgrid(a,b)
[array([[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4]]), array([[5, 5, 5, 5, 5],
[6, 6, 6, 6, 6],
[7, 7, 7, 7, 7],
[8, 8, 8, 8, 8],
[9, 9, 9, 9, 9]])]
>>>
（4）指定范围和分割方式的网格化：mgrid
>>> np.mgrid[0:1:2j, 1:2:3j]array([[[ 0. , 0. , 0. ],
[ 1. , 1. , 1. ]],
[[ 1. , 1.5, 2. ],
[ 1. , 1.5, 2. ]]])
>>> np.mgrid[0:1:0.3, 1:2:0.4]
array([[[ 0. , 0. , 0. ],
[ 0.3, 0.3, 0.3],
[ 0.6, 0.6, 0.6],
[ 0.9, 0.9, 0.9]],
[[ 1. , 1.4, 1.8],
[ 1. , 1.4, 1.8],
[ 1. , 1.4, 1.8],
[ 1. , 1.4, 1.8]]])
上面的例子中用到了虚数。构造虚数的方法如下：
>>> complex(2,5)(2+5j)
4、数组的属性
numpy的数组对象除了一些常规的属性外，也有几个类似转置、扁平迭代器等看起来更像是方法的属性。扁平迭代器也许是遍历多维数组的一个简明方法，下面的代码给出了一个例子。
>>> a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])>>> a.dtype # 数组元素的数据类型
dtype('int32')
>>> a.dtype.itemsize # 数组元素占据的内存字节数
4
>>> a.itemsize # 数组元素占据的内存字节数
4
>>> a.shape # 数组的维度
(2, 3)
>>> a.size # 数组元素个数
6
>>> a.T # 数组行变列，类似于transpose()
array([[1, 4],
[2, 5],
[3, 6]])
>>> a.flat # 返回一个扁平迭代器，用于遍历多维数组
<numpy.flatiter object at 0x037188F0>
>>> for item in a.flat:
print item
5、改变数组维度
numpy数组的存储顺序和数组的维度是不相干的，因此改变数组的维度是非常便捷的操作，除resize()外，这一类操作不会改变所操作的数组本身的存储顺序。
>>> a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])>>> a.shape # 查看数组维度
(2, 3)
>>> a.reshape(3,2) # 返回3行2列的数组
array([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
>>> a.ravel() # 返回一维数组
array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
>>> a.transpose() # 行变列（类似于矩阵转置）
array([[1, 4],
[2, 5],
[3, 6]])
>>> a.resize((3,2)) # 类似于reshape，但会改变所操作的数组
>>> a
array([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
6、索引和切片
对于一维数组的索引和切片，numpy和python的list一样，甚至更灵活。
a = np.arange(9)>>> a[-1] # 最后一个元素
8
>>> a[2:5] # 返回第2到第5个元素
array([2, 3, 4])
>>> a[:7:3] # 返回第0到第7个元素，步长为3
array([0, 3, 6])
>>> a[::-1] # 返回逆序的数组
array([8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0])
假设有一栋2层楼，每层楼内的房间都是3排4列，那我们可以用一个三维数组来保存每个房间的居住人数（当然，也可以是房间面积等其他数值信息）。
>>> a = np.arange(24).reshape(2,3,4) # 2层3排4列>>> a
array([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],
[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]])
>>> a[1][2][3] # 虽然可以这样
23
>>> a[1,2,3] # 但这才是规范的用法
23
>>> a[:,0,0] # 所有楼层的第1排第1列
array([ 0, 12])
>>> a[0,:,:] # 1楼的所有房间，等价与a[0]或a[0,...]
array([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]])
>>> a[:,:,1:3] # 所有楼层所有排的第2到4列
array([[[ 1, 2],
[ 5, 6],
[ 9, 10]],
[[13, 14],
[17, 18],
[21, 22]]])
>>> a[1,:,-1] # 2层每一排的最后一个房间
array([15, 19, 23])
7、数组合并
数组合并除了下面介绍的水平合并、垂直合并、深度合并外，还有行合并、列合并，以及concatenate()等方式。假如你比我还懒，那就只了解前三种方法吧，足够用了。
>>> a = np.arange(9).reshape(3,3)>>> b = np.arange(9,18).reshape(3,3)
>>> a
array([[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]])
>>> b
array([[ 9, 10, 11],
[12, 13, 14],
[15, 16, 17]])
>>> np.hstack((a,b)) # 水平合并
array([[ 0, 1, 2, 9, 10, 11],
[ 3, 4, 5, 12, 13, 14],
[ 6, 7, 8, 15, 16, 17]])
>>> np.vstack((a,b)) # 垂直合并
array([[ 0, 1, 2],
[ 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8],
[ 9, 10, 11],
[12, 13, 14],
[15, 16, 17]])
>>> np.dstack((a,b)) # 深度合并
array([[[ 0, 9],
[ 1, 10],
[ 2, 11]],
[[ 3, 12],
[ 4, 13],
[ 5, 14]],
[[ 6, 15],
[ 7, 16],
[ 8, 17]]])
8、数组拆分
拆分是合并的逆过程，概念是一样的，但稍微有一点不同：
>>> a = np.arange(9).reshape(3,3)>>> np.hsplit(a, 3) # 水平拆分，返回list
[array([[0],
[3],
[6]]), array([[1],
[4],
[7]]), array([[2],
[5],
[8]])]
>>> np.vsplit(a, 3) # 垂直拆分，返回list
[array([[0, 1, 2]]), array([[3, 4, 5]]), array([[6, 7, 8]])]
>>> a = np.arange(27).reshape(3,3,3)
>>> np.dsplit(a, 3) # 深度拆分，返回list
[array([[[ 0],
[ 3],
[ 6]],
[[ 9],
[12],
[15]],
[[18],
[21],
[24]]]), array([[[ 1],
[ 4],
[ 7]],
[[10],
[13],
[16]],
[[19],
[22],
[25]]]), array([[[ 2],
[ 5],
[ 8]],
[[11],
[14],
[17]],
[[20],
[23],
[26]]])]
9、数组运算
数组和常数的四则运算，是数组的每一个元素分别和常数运算；数组和数组的四则运算则是两个数组对应元素的运算（两个数组有相同的shape，否则抛出异常）。
>>> a = np.arange(4, dtype=np.float32).reshape(2,2)>>> b = np.arange(4, 8, dtype=np.float32).reshape(2,2)
>>> a+2 # 数组和常数可以进行四则运算
array([[ 2., 3.],
[ 4., 5.]], dtype=float32)
>>> a/b # 数组和数组可以进行四则运算
array([[ 0. , 0.2 ],
[ 0.33333334, 0.42857143]], dtype=float32)
>>> a == b # 最神奇的是，数组可以判断对应元素是否相等
array([[False, False],
[False, False]], dtype=bool)
>>> (a == b).all() # 判断数组是否相等
False
特别提示：如果想对数组内符合特定条件的元素做特殊处理，下面的代码也许有用。
>>> a = np.arange(6).reshape((2,3))>>> a
array([[0, 1, 2],
[3, 4, 5]])
>>> (a>2)&(a<=4)
array([[False, False, False],
[ True, True, False]], dtype=bool)
>>> a[(a>2)&(a<=4)]
array([3, 4])
>>> a[(a>2)&((a<=4))] += 10
>>> a
array([[ 0, 1, 2],
[13, 14, 5]])
10、数组方法和常用函数
数组对象本身提供了计算算数平均值、求最大最小值等内置方法，numpy也提供了很多实用的函数。为了缩减篇幅，下面的代码仅以一维数组为例，展示了这些方法和函数用法。事实上，大多数情况下这些方法和函数对于多维数组同样有效，只有少数例外，比如compress函数。
>>> a = np.array([3,2,4])>>> a.sum() # 所有元素的和
9
>>> a.prod() # 所有元素的乘积
24
>>> a.mean() # 所有元素的算数平均值
3.0
>>> a.max() # 所有元素的最大值
4
>>> a.min() # 所有元素的最小值
2
>>> a.clip(3,4) # 小于3的元素替换为3，大于4的元素替换为4
array([3, 3, 4])
>>> a.compress(a>2) # 返回大于2的元素组成的数组
array([3, 4])
>>> a.tolist() # 返回python的list
[3, 2, 4]
>>> a.var() # 计算方差（元素与均值之差的平方的均值）
0.66666666666666663
>>> a.std() # 计算标准差（方差的算术平方根）
0.81649658092772603
>>> a.ptp() # 返回数组的最大值和最小值之差
2
>>> a.argmin() # 返回最小值在扁平数组中的索引
1
>>> a.argmax() # 返回最大值在扁平数组中的索引
2
>>> np.where(a == 2) # 返回所有值为2的元素的索引
(array([1]),)
>>> np.diff(a) # 返回相邻元素的差
array([-1, 2])
>>> np.log(a) # 返回对数数组
array([ 1.09861229, 0.69314718, 1.38629436])
>>> np.exp(a) # 返回指数数组
array([ 20.08553692, 7.3890561 , 54.59815003])
>>> np.sqrt(a) # 返回开方数组
array([ 1.73205081, 1.41421356, 2. ])
>>> np.msort(a) # 数组排序
array([2, 3, 4])
>>> a = np.array([1,4,7])
>>> b = np.array([8,5,2])
>>> np.maximum(a, b) # 返回多个数组中对应位置元素的最大值数组
array([8, 5, 7])
>>> np.minimum(a, b) # 返回多个数组中对应位置元素的最小值数组
array([1, 4, 2])
>>> np.true_divide(a, b) # 对整数实现真正的数学除法运算
array([ 0.125, 0.8 , 3.5 ])
二、矩阵对象
matrix是矩阵对象，继承自ndarray类型，因此含有ndarray的所有数据属性和方法。不过，当你把矩阵对象当数组操作时，需要注意以下几点：
matrix对象总是二维的，即使是展平（ravel函数）操作或是成员选择，返回值也是二维的
matrix对象和ndarray对象混合的运算总是返回matrix对象
1、创建矩阵
matrix对象可以使用一个Matlab风格的字符串来创建（以空格分隔列，以分号分隔行的字符串），也可以用数组来创建。
>>> np.mat('1 4 7; 2 5 8; 3 6 9')matrix([[1, 4, 7],
[2, 5, 8],
[3, 6, 9]])
>>> np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3))
matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
2、矩阵的特有属性
矩阵有几个特有的属性使得计算更加容易，这些属性有：
>>> m = np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3))>>> m
matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
>>> m.T # 返回自身的转置
matrix([[1, 4, 7],
[2, 5, 8],
[3, 6, 9]])
>>> m.H # 返回自身的共轭转置
matrix([[1, 4, 7],
[2, 5, 8],
[3, 6, 9]])
>>> m.I # 返回自身的逆矩阵
matrix([[ -4.50359963e+15, 9.00719925e+15, -4.50359963e+15],
[ 9.00719925e+15, -1.80143985e+16, 9.00719925e+15],
[ -4.50359963e+15, 9.00719925e+15, -4.50359963e+15]])
>>> m.A # 返回自身数据的二维数组的一个视图
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
3、矩阵乘法
对ndarray对象而言，星号是按元素相乘，dot()函数则当作矩阵相乘。对于matrix对象来说，星号和dot()函数都是矩阵相乘。特别的，对于一维数组，dot()函数实现的是向量点乘（结果是标量），但星号实现的却不是差乘。
>>> a = np.array([1,2,3])>>> b = np.array([4,5,6])
>>> a*b # 一维数组，元素相乘
array([ 4, 10, 18])
>>> np.dot(a,b) # 一维数组，元素相乘再求和
32
>>> a = np.array([[1,2],[3,4]])
>>> b = np.array([[5,6],[7,8]])
>>> a*b # 多维数组，元素相乘
array([[ 5, 12],
[21, 32]])
>>> np.dot(a,b) # 多维数组，实现的是矩阵相乘
array([[19, 22],
[43, 50]])
>>> m = np.mat(a)
>>> n = np.mat(b)
>>> np.dot(m,n) # 矩阵相乘
matrix([[19, 22],
[43, 50]])
>>> m*n # 矩阵相乘
matrix([[19, 22],
[43, 50]])
三、线性代数模块
numpy.linalg 是numpy的线性代数模块，可以用来解决逆矩阵、特征值、线性方程组以及行列式等问题。
1、计算逆矩阵
尽管matrix对象本身有逆矩阵的属性，但用numpy.linalg模块求解矩阵的逆，也是非常简单的。
m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')mi = np.linalg.inv(m) # mi即为m的逆矩阵。何以证明？
m * mi # 矩阵与其逆矩阵相乘，结果为单位矩阵
matrix([[ 1., 0., 0.],
[ 0., 1., 0.],
[ 0., 0., 1.]])
2、计算行列式
如何计算行列式，我早已经不记得了，但手工计算行列式的痛苦，我依然记忆犹新。现在好了，你在手机上都可以用numpy轻松搞定（前提是你的手机上安装了python + numpy）。
m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')np.linalg.det(m) # 什么？这就成了？
2.0
3、计算特征值和特征向量
m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')>>> np.linalg.eigvals(m) # 计算特征值
array([ 7.96850246, -0.48548592, 0.51698346])
>>> np.linalg.eig(m) # 返回特征值及其对应特征向量的元组
(array([ 7.96850246, -0.48548592, 0.51698346]), matrix([[ 0.26955165, 0.90772191, -0.74373492],
[ 0.36874217, 0.24316331, -0.65468206],
[ 0.88959042, -0.34192476, 0.13509171]]))
4、求解线性方程组
有线性方程组如下：
x - 2y + z = 02y -8z = 8
-4x + 5y + 9z = -9
求解过程如下：
>>> A = np.mat('1 -2 1; 0 2 -8; -4 5 9')>>> b = np.array([0, 8, -9])
>>> np.linalg.solve(A, b)
array([ 29., 16., 3.]) # x = 29, y = 16, z = 3
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