数据结构与算法学习笔记之适合大规模的数据排序

  • Z时代
  • 2024-01-10
  • 分类：综合

coding

前言

　　在数据排序的算法中，不同数据规模应当使用合适的排序算法才能达到最好的效果，如小规模的数据排序，可以使用冒泡排序、插入排序，选择排序，他们的时间复杂度都为O（n2），大规模的数据排序就可以使用归并排序和快速排序，时间复杂度为O（nlogn）。今天我们就来看一下归并排序和快速排序。

正文

　　归并排序的原理

　　核心思想（分治思想）：

　　　　排序数组，将数组从中间分成前后两部分，对前后两部分分别排序，然后合在一起，这个数组就是有序的。

　　归并排序的性能分析

　　1.归并排序是一个稳定的排序算法：在合并的过程中，如果A[p...q]和A[q+1...r]之间中有相同的元素，先把A[p...q]中的元素放入tmp数组。这样就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。

　　2.归并排序的时间复杂度是O（nlogn）：在解决递归问题时，我们得出一个结论：递归问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式

　　我们假设对n个元素进行归并排序需要的时间是T（n），那分解成两个子数组排序的时间都是T(n/2)，套用结论可以得到归并排序的时间复杂度的计算公式就是：

　　

T(1) = C；   n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1

再次将这个公式分解:

T(n) = 2*T(n/2) + n
= 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
= 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
= 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n
     ......
= 2^k * T(n/2^k) + k * n
     ......

我们可以得到T(n)=2^kT(n/2^k)+kn.当T(n/2^k)=T(1)时，也就是n/2^k=1,我们将得到k=log2n，问你将k带入公式得到

T(n)=Cn+nlog2n

用大O标记法来表示为T(n) 就等于 O(nlogn)

而且时间复杂度是非常稳定的：最好情况，最坏情况，还是平均情况，时间复杂度都是O（nlogn）

　　

　　3、归并排序的空间复杂度为O（n）

　　归并排序的致命缺点：归并排序不是原地排序算法（在合并两个有序数组时，需要借助额外的存储空间）

递归代码的空间复杂度并不能像时间复杂度那样累加、尽管每次合并操作都需要申请额外的内存空间，但在合并完成之后、临时开辟的内存空间就被释放掉了、临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小

 

　　快速排序的原理

　　　如果要排序数组中下标从p到r之间的一组数据，我们选择p到r之间的任意一个数据作为pivot（分区点），遍历数据，见小于pivot的放在右边，大于pivot放在左边。这样数组就分成了三部分，用递归排序下标从 p 到 q-1 之间的数据和下标从 q+1.到r之间的数据，直到区间缩小为1，说明数据都有序
　　快速排序的时间复杂度为O（1）：在排序过程中，假如遇到需要移动数据的，我们可以之间用交换的思想

（图片来源于网络，侵删）

　　空间复杂度为O（1）

 

快速排序和归并排序的区别？

看图：

（图片来源于网络，侵删）

处理过程的差异：

　　递归排序：先处理子问题再合并

　　快速排序：先分区，再处理子问题

归并排序虽然稳定，是时间复杂度为O（nlogn）的排序算法，但是它不是原地排序算法，合并过程中需要额外的空间。

　　

快速排序的性能分析

　　递归代码的时间复杂度，如果每次分区操作，都能正好将数组分为两个大小相等的两个小区间，那快速排序的递推公式和递推排序是相同的，所以，快排的时间复杂度为O（nlogn）

　　但是，每次都分得那么均匀是非常难实现的。

T（n）在大部分情况下的时间复杂度都可以做到O（nlogn），只有在极端情况下才会退化为O（n2）.

后记

　　递归和快排都是分治的思想，代码都通过递归来实现，过程非常相似。归并排序时间复杂度都非常稳定为O（nlogn），但是每次合并的时候都需要额外的空间，空间复杂度非常高为是O(n)，快速排序算法虽然最坏时间复杂度为O（n2），但是平均时间复杂度为O（nlogn），最坏的情况我们也可以避免。

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作者：Dawnzhang 
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