Java数据结构彻底理解关于KMP算法

Z时代
2024-01-10
分类：IT

大家好，前面的有一篇文章讲了子序列和全排列问题，今天我们再来看一个比较有难度的问题。那就是大名鼎鼎的KMP算法。

本期文章源码：GitHub源码

简介

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出的，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作（简称KMP算法）。KMP算法的核心是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是通过一个next()函数实现，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。KMP算法的时间复杂度O(m+n) 。

说的简单的一点，就是一个用于在主串中，查找子串的算法。

暴力解法（BF）

在讲解KMP算法之前，我们得先理解暴力解法，因为KMP算法就是在暴力解法的基础之上，进行了优化，使之匹配速度加快。

人如其名，暴力解法，就是一种很暴力的解决方法。比如：主串“abbabbec”，待查找的子串为“abbec”，请问主串中是否包含这个子串？

我们肉眼，能够很轻松的看到从第4个字符开始，一直到末尾这一段，就是需要查找的子串。那么编译器是如何进行查找呢？它就只能一个字符一个字符的尝试：

QQ截图20210913152249

上图就是暴力解法的全部过程，通过匹配一个个字符，如果当前字符匹配成功，i和j就同时走一步；如果当前字符匹配不成功，i 就应该回到当前开始的第一个字符的下一个字符：比如图中步骤4和步骤5，就是说的这个意思，当前是从第一个字符a开始匹配的，此时匹配失败了，i就应该回到a字符的下一个字符，j就从0下标开始，继续往下匹配；

当i或者j走到了字符串的末尾，我们就结束循环。然后判断j是不是遍历完了待查找的子串，如果确实是走到了子串的末尾，说明查找成功了，就返回子串在主串的起始位置（i - j，在上图就是返回3），反之就是：主串的字符都遍历完了，子串的还没遍历完，那就是主串没有这个子串的情况，此时返回-1即可。


//BF算法
//s 为主串
//m 为待查找的子串
public int BF(String s, String m) {
    if(s == null || m == null) {
        return -1;
    }
    char[] str1 = s.toCharArray(); //主串
    char[] str2 = m.toCharArray(); //子串
    int i = 0; //指向主串的下标
    int j = 0; //指向子串的下标
    //i和j的值，都还没到末尾，循环继续
    while (i < str1.length && j < str2.length) {
        if (str1[i] == str2[j]) { //当前字符匹配成功
            i++;
            j++;
        } else { //当前字符匹配不成功
            i = i - j + 1; //回到开头的下一个字符
            j = 0; //子串从头开始
        }
    }
    //判断是否遍历完了子串，并返回相应的值
    return j == str2.length? i - j : -1; 
}

时间复杂度：

假设主串的长度为N，子串的长度为M。最差的情况，就如上图的情况，只有在最后一个字符才查找成功。所以子串要从每一个字符作为起始位置开始匹配，每一个字符作为起始，都会匹配子串的长度M次，也就是说暴力解法的时间复杂度为O(N*M)。

KMP算法

KMP算法和BF算法，在代码上差别不大。在BF的代码基础之上，需要计算一个next数组，在while循环里面再加一个判断语句即可，其他的代码都是不变的。

虽然代码改动不是很大，但是从逻辑思维上，却是一个质的飞越。所以我们先来看一下KMP的核心：next数组。

next数组究竟是什么？我相信很多同学都会有这样一个疑问。

其实next数组，计算的待查找的子串的每个字符（不包括当前字符）前面的所有字符中，前缀字符串和后缀字符串相等的，并且最长的字符个数。比如：

举一个完整的例子吧，比如子串是str2 = “ababab”，计算这个字符串的next数组如下：

首先就是从头开始遍历字符串：（建议拿出笔和纸，一起画一画，更容易理解）

j = 0; str2[j] = a

a字符前面没有任何字符，人为规定第一个字符的next值为-1。

j = 1; str2[j] = b

b字符前面只有一个字符a，有人就会说，那么next就是1咯？当然不是，我们还忽略了一个重要条件：计算的当前字符前面的所有字符，进行划分前缀和后缀字符串，但是所谓的前缀和后缀字符串，并不包括了这前面的整体字符串。说的简单一点就是：假设b字符前面的所有字符是“abc”，前缀字符串是“abc”，后缀字符串是“abc”，这种情况是不算在内的。用数学公式解释：前缀字符串 = 后缀字符串 = b字符前面所有字符。这种情况不算数。

所以当前这个b字符，前面就只有一个字符，所以人为规定第二个字符的next值为0。

j = 2； str2[j] = a

a字符前面有字符串“ab”，前缀和后缀字符串，排除“ab” = “ab”的情况，就没有能够匹配前缀和后缀的字符串，所以第三个字符的next值为0。

j = 3; str2[j] = b

b字符前面的字符串是“aba”，此时排除“aba” = ”aba“的情况，那就只剩下前缀字符串“a” = 后缀字符串“a”的情况，所以第四个字符的next值为1。

j = 4; str2[j] = a

a字符前面的字符串是“abab”，排除“abab” = “abab”的情况后，就只剩下前缀字符串“ab” = 后缀字符串“ab”的情况，所以第五个字符的next值为2。

j = 5；str2[j] = b

b字符前面的字符串是“ababa”，排除“ababa” = “ababa”的情况后，就只剩下前缀字符串“aba” = 后缀字符串“aba”，所以第六个字符的next值为3。

j = 6； str2[j] = ‘\0'

遍历结束

所以上面例子的next数组的值，如下图：

那么就有同学会纳闷了，在逻辑层面上，我知道该怎么计算next数组了，但是在代码层面上，似乎并没有什么思路。不急，我们现在就说一下代码怎么实现这个逻辑。

我们以上图的最后一个字符b为例。在求解b字符所对应的next值时，b字符前面的字符，是已经计算好了next值的。所以我们需要借助b字符前面已经计算好的next值，来计算b字符的next值。

所以next数组的计算代码，如下：


public int[] getNextArr(String m) {
    if (m.length() < 2) { //只有一个字符
        return new int[] {-1};
    }
    if (m.length() < 3) { //只有两个字符
        return new int[] {-1, 0};
    }
    char[] str = m.toCharArray();
    int[] next = new int[m.length()];
    next[0] = -1;
    next[1] = 0; //人为规定的两个位置的next值
    int cn = 0; //表示往前跳的下标。也就是前缀字符串的下一个字符。初始化就是第一个字符
    int i = 2; //从第三个字符开始判断
    while (i < m.length()) {
        if (str[i - 1] == str[cn]) { 
            //当前字符的前一个字符，与cn所对应的字符比较
            next[i++] = ++cn; //等价于：next[i++] = next[i - 1] + 1; cn++; 
        } else if (cn > 0) {
            //说明当前字符没匹配成功，cn要往前跳，找上一组前缀、后缀字符串
            cn = next[cn];
        } else {
            //cn一直往前跳，都没能与当前字符匹配成功，则当前位置next值就是0
            next[i++] = 0;
        }
    }
    return next; //返回next数组
}

next数组的计算代码，我们就讲完了，再加把劲，就还剩最后的一点点了。

我们先来将大致的框架写出来：


//KMP算法
// s 为主串
// m 为待查找的子串
public int KMP(String s, String m) {
    if (s == null || m == null || s.length() < 1 || m.length() < 1) {
        return -1;
    }
    int[] next = getNextArr(m); //计算子串的next数组
    char[] str1 = s.toCharArray();
    char[] str2 = m.toCharArray();
    int i = 0; //指向主串的下标
    int j = 0; //指向子串的下标
    while (i < str1.length && j < str2.length) {
        if (str1[i] == str2[j]) { //字符相等的情况，i和j同时加1
            i++;
            j++;
        } else if (j == 0) {
        } else {
        }
    }
    return j == str2.length? i - j : -1; //判断子串是否遍历完了
}

现在就还剩下while循环里面，20行~24行的代码，还没填写。

20行~24行的代码，是在上面的if语句没有为真，才会走到20行后面代码。也就是说此时当前的字符已经没有匹配成功了。此时就需要对j或者i进行调整。

那么对于j来说，就分为两个情况：

j ！= 0时，则说明j还能往前面跳，即就是说j位置前面的字符，还有可能会有前缀、后置字符串。那么j继续往前跳即可。j = next[j]。（找j位置前面的前缀字符串）

j == 0时，则说明j前面已经没有字符了，换个角度说，对于当前i位置的字符，在子串中j已经走到了第一个字符，都还没匹配成功，则说明，当前i位置的字符肯定不会匹配成功的。那么i往后走一个字符的位置，然后再循环就进行判断。

完整的代码：


//KMP算法
// s 为主串
// m 为待查找的子串
public int KMP(String s, String m) {
    if (s == null || m == null || s.length() < 1 || m.length() < 1) {
        return -1;
    }
    int[] next = getNextArr(m); //计算子串的next数组
    char[] str1 = s.toCharArray();
    char[] str2 = m.toCharArray();
    int i = 0; //指向主串的下标
    int j = 0; //指向子串的下标
    while (i < str1.length && j < str2.length) {
        if (str1[i] == str2[j]) { //字符相等的情况，i和j同时加1
            i++;
            j++;
        } else if (j == 0) { //j不能再往前走了，那么i就往后走一个位置
            i++;
        } else { //j还能往前跳，寻找前面的前缀字符串
            j = next[j];
        }
    }
    return j == str2.length? i - j : -1; //判断子串是否遍历完了
}