单源最短路径BellmanFord算法

  • Z时代
  • 2024-01-10
  • 分类：综合

coding

传送门：

Dijkstra

Bellman-Ford

SPFA

Floyd

1.Dijkstra算法的局限性

像上图，如果用dijkstra算法的话就会出错，因为如果从1开始，第一步dist[2] = 7, dist[3] = 5;在其中找出最小的边是dist[3] = 5;然后更新dist[2] = 0，最终得到dist[2] = 0,dist[3] = 5，而实际上dist[3] = 2；所以如果图中含有负权值，dijkstra失效

2.Bellman-Ford算法思想

适用前提：没有负环（或称为负权值回路），因为有负环的话距离为负无穷。

构造一个路径" title="最短路径">最短路径长度数组序列dist1[u] dist2[u]...distn-1[u]，其中：
dist1[u]为从源点v0出发到终点u的只经过一条边的最短路径长度，并有dist1[u] = Edge[v0][u]

dist2[u]为从源点v0出发最多经过不构成负权值回路的两条边到终点u的最短路径长度

dist3[u]为从源点v0出发最多经过不构成负权值回路的三条边到终点u的最短路径长度

................

distn-1[u]为从源点v0出发最多经过不构成负权值回路的n-1条边到终点u的最短路径长度

算法最终目的是计算出distn-1[u]，即为源点到顶点u的最短路径长度

初始：dist1[u] = Edge[v0][u]

递推：distk[u] = min(distk-1[u], min{distk-1[j] + Edge[j][u]})（松弛操作，迭代n-2次）

3.本质思想：
在从distk-1[u]递推到distk[u]的时候，Bellman-Ford算法的本质是对每条边<u, v>进行判断：设边<u, v>的权值为w(u, v)，如果边<u, v>的引入会使得distk-1[v]的值再减小，就要修改distk-1[v]，即：如果distk-1[u] + w(u, v) < distk-1[v],，那么distk[v] = distk-1[u] + w(u, v)，这个称为一次松弛

所以递推公式可改为：

初始：dist0[u] = INF dist0[v0] = 0（v0是源点）

递推：对于每条边(u, v) distk[v] = min(distk-1[v], distk-1[u] + w(u, v))（松弛操作，迭代n-1次）

如果迭代n-1次后，再次迭代，如果此时还有dist会更新，说明存在负环。

 无负环的时候，迭代更新次数最多为n-1次，所以设置一个更新变量可以在不更新的时候直接跳出循环

拓展：

Bellman-Ford算法还能用来求最长路或者判断正环，思路是dist数组含义是从原点出发到其他每个顶点的最长路径的长度，初始时，各个顶点dist为0，在从distk-1[u]递推到distk[u]的时候，Bellman-Ford算法的本质是对每条边<u, v>进行判断：设边<u, v>的权值为w(u, v)，如果边<u, v>的引入会使得distk-1[v]的值再增加，就要修改distk-1[v]，即：如果distk-1[u] + w(u, v) > distk-1[v],，那么distk[v] = distk-1[u] + w(u, v)。例题：POJ-1860

4.代码实现：时间复杂度O(nm)(n为点数，m为边数)

输入：

7 10
0 1 6
0 2 5
0 3 5
1 4 -1
2 1 -2
2 4 1
3 2 -2
3 5 -1
4 6 3
5 6 3

输出：

从0到1距离是： 1   0->3->2->1
从0到2距离是： 3   0->3->2
从0到3距离是： 5   0->3
从0到4距离是： 0   0->3->2->1->4
从0到5距离是： 4   0->3->5
从0到6距离是： 3   0->3->2->1->4->6
不存在负环

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<queue>
 7 #include<stack>
 8 #include<map>
 9 #include<sstream>
10usingnamespace std;
11 typedef longlong ll;
12constint maxn = 1000 + 10;
13constint INF = 1 << 25;
14int T, n, m, cases;
15struct edge
16{
17int u, v, w;
18};
19edge a[maxn];
20int path[maxn], d[maxn];
21bool Bellman(int v0)
22{
23for(int i = 0; i < n; i++)d[i] = INF, path[i] = -1;
24     d[v0] = 0;
25for(int i = 0; i < n; i++)//迭代n次，如果第n次还在更新，说明有负环
26    {
27bool update = 0;
28for(int j = 0; j < m; j++)
29        {
30int x = a[j].u, y = a[j].v;
31//cout<<x<<" "<<y<<" "<<a[j].w<<endl;
32if(d[x] < INF && d[x] + a[j].w < d[y])
33            {
34                 d[y] = d[x] + a[j].w;
35                 path[y] = x;
36                 update = 1;
37if(i == n - 1)//说明第n次还在更新
38                {
39returntrue;//返回真，真的存在负环
40                }
41            }
42        }
43if(!update)break;//如果没更新了，说明已经松弛完毕
44    }
45for(int i = 0; i < n; i++)
46    {
47if(i == v0)continue;
48         printf("从%d到%d距离是：%2d   ", v0, i, d[i]);
49         stack<int>q;
50int x = i;
51while(path[x] != -1)
52        {
53            q.push(x);
54             x = path[x];
55        }
56         cout<<v0;
57while(!q.empty())
58        {
59             cout<<"->"<<q.top();
60            q.pop();
61        }
62         cout<<endl;
63    }
64returnfalse;
65}
66int main()
67{
68     cin >> n >> m;
69for(int i = 0; i < m; i++)cin >> a[i].u >> a[i].v >> a[i].w;
70if(Bellman(0))cout<<"存在负环"<<endl;
71else cout<<"不存在负环"<<endl;
72return0;
73 }

以上是 单源最短路径BellmanFord算法 的全部内容， 来源链接： utcz.com/z/509549.html

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