三角函数和指数傅里叶级数之间的关系
三角傅立叶级数
周期函数可以用正交函数的线性组合在一定的时间间隔内表示。如果这些正交函数是三角函数，则称为三角傅立叶级数。
在数学上，周期信号的标准三角傅立叶级数展开式为，
$$\mathrm{ x(t)=a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_ {0}nt\:\:... (1)}$$
指数傅里叶级数
周期函数可以用正交函数的线性组合表示在一定时间间隔内，如果这些正交函数是指数函数，则称为指数傅立叶级数。
在数学上，周期函数的标准指数傅立叶级数展开式由下式给出，
$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}\:\:... (2)}$$
从指数傅立叶级数获得三角傅立叶级数
周期函数 $$的指数傅立叶级数x(t)由下式给出，
$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\: x(t)=C_{0}+\sum_{n=−\infty}^{-1}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}+\sum_{n= 1}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\: x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}(C_{-n}e^{-jn\omega_{0} t}+C_{n} e^{jn\omega_{0} t})}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\: x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[C_{-n}(cos\:n\omega_{0}tj\:sin\:n \omega_{0}t)+C_{n}(cos\:n\omega_{0}t + j\:sin\:n\omega_{0}t)]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\: x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[(C_{n}+C_{-n})cos\:n\omega_{0}t +j(C_{n}-C_{-n})sin\:n\omega_{0}t]\:\:... (3)}$$
现在，将方程(3)与方程中给出的标准三角傅立叶级数进行比较。(1)，我们得到三角傅立叶级数的系数如下 -
$$\mathrm{a_{0}=C_{0}}$$
$$\mathrm{a_{n}=C_{n}+C_{-n}}$$
$$\mathrm{b_{n}=j(C_{n}+C_{-n})}$$
通过评估这些三角系数，我们可以写出周期函数的三角傅立叶级数展开式。
从三角傅立叶级数获得指数傅立叶级数
指数傅里叶级数可以从三角傅里叶级数获得如下 -
周期函数的三角傅立叶级数展开式由下式给出，
$$\mathrm{ x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_ {0}nt}$$
其中，三角傅立叶系数由下式给出，
$$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)dt\:\:... (4)}$$
$$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\:cos\:n\omega_{0}t\:\:dt\:\:\: … (5)}$$
$$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)sin\:n\omega_{0}t\:\:dt\:\:\:... ( 6)}$$
从指数傅立叶级数，指数傅立叶系数 $C_{n}$由下式给出，
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$
通过使用欧拉公式，我们得到，
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)(cos\:n\omega_{0} t - j\:sin\:n\omega_{0 } t)dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:C_{n}=\frac{1}{T}\left ( \frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\:cos\:n\omega_ {0} t\: dt-j\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\: sin \:n\omega_{0} t dt \right )... (7)}$$
比较等式(7)与(5)和(6)，我们得到，
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{2}[a_{n}-jb_{n}]\:... (8)}$$
类似地，指数傅立叶系数 $C_{-n}$是，
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)e^{jn\omega_{0} t}dt}$$
通过使用欧拉公式，我们得到，
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)(cos\:n\omega_{0}t+j\:sin\:n\omega_{ 0}t)\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:C_{-n}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)cos\:n\omega_{ 0}t\:dt + j\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\:sin\:n\omega_{0} t dt \right)\:\:... (9)} $$
比较等式(9)与(5)和(6)，我们得到，
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{2}[a_{n}+jb_{n}]\:... (10)}$$
并且，指数傅立叶系数 $C_{0}$是，
$$\mathrm{C_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)\:dt=a_{0}... (11)}$$
使用方程(8)、(10)和(11)，我们可以从三角傅里叶系数中得到指数傅里叶系数的值，然后从三角傅里叶级数中得到指数傅里叶级数。
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