python如何求解两数的最大公约数
题目：
给定两个自然数，求这两个数的最大公约数。
分析：
单看题目的话，非常简单，我们可以循环遍历自然数，如果能够整除两个自然数，就把这个数记下来，在这些记录中找到最大的一个。
但是这样做有几个缺点：一是做除法计算量比较大，二是遍历所有自然数完全没有必要。另外，如果能够循环，还是不要递归，因为Python的函数递归最大栈空间是1000（如果我没有记错的话），如果数字大一些，很容易出现爆栈。
所以在这里有两种处理方法：
1、如果较大的自然数除较小的一个自然数，取得余数，较小的自然数和余数的最大公约数就是我们要求的值。
2、如果较大的自然数减去较小的自然数，取得差值，较小的自然数和差值的最大公约数就是我们要求的值。
基于以上两条，我们就可以在根据定义得到的算法的基础上进行改进，但是！减法操作当然比取余要方便很多。而且在计算机里，做位运算的速度要比加减乘除都快，所以，我写了四个算法，具体描述在代码的 __doc__里有注释阐述
代码：
def greatest_common_divisor_1(self, num1, num2):
'''
数值计算寻找最大公约数，给定两个整数，计算其最大公约数，时间复杂度为 o(min(num1,num2))，取余运算复杂度高
'''
gbc = 1
for i in xrange(2, min(num1, num2)+1):
if num2 % i == 0 and num1 % i == 0:
gbc = i
return gbc
def greatest_common_divisor_2(self, num1, num2):
'''
辗转相减法，时间复杂度最差为 o(min(num1,num2))，一般情况下都比这个要好。相减运算要比除法方便很多
'''
while num1 != num2:
if num1 > num2:
num1 = num1 - num2
else:
num2 = num2 - num1
return num1
def greatest_common_divisor_3(self, num1, num2):
'''
求余数法，取模运算比较麻烦，时间复杂度低 o(log max(num1, num2))
'''
while num1 != num2:
if num1 > num2:
if num1 % num2 == 0:
return num2
num1 = num1 % num2
else:
if num2 % num1 == 0:
return num1
num2 = num2 % num1
return num1
def greatest_common_divisor(self, num1, num2):
'''
求两个数的最大公约数
综合取余法和辗转相减法，既能得到较好的时间复杂度，又能避免取余运算，时间复杂度稳定 o(log max(num1,num2))
如果取两个非常大的数的话，前面的方法很容易爆栈、取余困难等等，但是该方法没有问题
a = 999999342353200
b = 777774234
print greatest_common_divisor(a, b)
'''
factor = 1
if num1 < num2:
return greatest_common_divisor_1(num2, num1)
while num1 != num2:
if num1 & 1 is False and num2 & 1 is False: # 均为偶数
num1 = num1 >> 1
num2 = num2 >> 2
factor *= 2
elif num1 & 1 is False and num2 & 1 is True:
num1 = num1 >> 1
elif num1 & 1 is True and num2 & 1 is False:
num2 = num2 >> 1
else:
if num1 > num2:
num1 = num1 - num2
else:
num2 = num2 - num1
return factor*num1
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