python 实现逻辑回归

Z时代
2024-01-10
分类：综合

逻辑回归

适用类型：解决二分类问题

逻辑回归的出现：线性回归可以预测连续值，但是不能解决分类问题，我们需要根据预测的结果判定其属于正类还是负类。所以逻辑回归就是将线性回归的结果，通过Sigmoid函数映射到（0，1）之间

线性回归的决策函数：数据与θ的乘法，数据的矩阵格式(样本数×列数)，θ的矩阵格式(列数×1)

将其通过Sigmoid函数，获得逻辑回归的决策函数

使用Sigmoid函数的原因：

可以对(-∞, +∞)的结果，映射到(0, 1)之间作为概率

可以将1/2作为决策边界

数学特性好，求导容易

逻辑回归的损失函数

线性回归的损失函数维平方损失函数，如果将其用于逻辑回归的损失函数，则其数学特性不好，有很多局部极小值，难以用梯度下降法求解最优

这里使用对数损失函数

解释：如果一个样本为正样本，那么我们希望将其预测为正样本的概率p越大越好，也就是决策函数的值越大越好，则logp越大越好，逻辑回归的决策函数值就是样本为正的概率；如果一个样本为负样本，那么我们希望将其预测为负样本的概率越大越好，也就是（1-p）越大越好，即log(1-p)越大越好

为什么使用对数函数：样本集中有很多样本，要求其概率连乘，概率为0-1之间的数，连乘越来越小，利用log变换将其变为连加，不会溢出，不会超出计算精度

损失函数:： y(1->m)表示Sigmoid值(样本数×1)，hθx(1->m)表示决策函数值(样本数×1)，所以中括号的值(1×1)

二分类逻辑回归直线编码实现


import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
class MyLogisticRegression:
  def __init__(self):
    plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
    # 包含数据和标签的数据集
    self.data = np.loadtxt("./data2.txt", delimiter=",")
    self.data_mat = self.data[:, 0:2]
    self.label_mat = self.data[:, 2]
    self.thetas = np.zeros((self.data_mat.shape[1]))
    # 生成多项式特征，最高6次项
    self.poly = PolynomialFeatures(6)
    self.p_data_mat = self.poly.fit_transform(self.data_mat)
  def cost_func_reg(self, theta, reg):
    """
    损失函数具体实现
    :param theta: 逻辑回归系数
    :param data_mat: 带有截距项的数据集
    :param label_mat: 标签数据集
    :param reg:
    :return:
    """
    m = self.label_mat.size
    label_mat = self.label_mat.reshape(-1, 1)
    h = self.sigmoid(self.p_data_mat.dot(theta))
    J = -1 * (1/m)*(np.log(h).T.dot(label_mat) + np.log(1-h).T.dot(1-label_mat))\
      + (reg / (2*m)) * np.sum(np.square(theta[1:]))
    if np.isnan(J[0]):
      return np.inf
    return J[0]
  def gradient_reg(self, theta, reg):
    m = self.label_mat.size
    h = self.sigmoid(self.p_data_mat.dot(theta.reshape(-1, 1)))
    label_mat = self.label_mat.reshape(-1, 1)
    grad = (1 / m)*self.p_data_mat.T.dot(h-label_mat) + (reg/m)*np.r_[[[0]], theta[1:].reshape(-1, 1)]
    return grad
  def gradient_descent_reg(self, alpha=0.01, reg=0, iterations=200):
    """
    逻辑回归梯度下降收敛函数
    :param alpha: 学习率
    :param reg:
    :param iterations: 最大迭代次数
    :return: 逻辑回归系数组
    """
    m, n = self.p_data_mat.shape
    theta = np.zeros((n, 1))
    theta_set = []
    for i in range(iterations):
      grad = self.gradient_reg(theta, reg)
      theta = theta - alpha*grad.reshape(-1, 1)
      theta_set.append(theta)
    return theta, theta_set
  def plot_data_reg(self, x_label=None, y_label=None, neg_text="negative", pos_text="positive", thetas=None):
    neg = self.label_mat == 0
    pos = self.label_mat == 1
    fig1 = plt.figure(figsize=(12, 8))
    ax1 = fig1.add_subplot(111)
    ax1.scatter(self.p_data_mat[neg][:, 1], self.p_data_mat[neg][:, 2], marker="o", s=100, label=neg_text)
    ax1.scatter(self.p_data_mat[pos][:, 1], self.p_data_mat[pos][:, 2], marker="+", s=100, label=pos_text)
    ax1.set_xlabel(x_label, fontsize=14)
    # 描绘逻辑回归直线（曲线）
    if isinstance(thetas, type(np.array([]))):
      x1_min, x1_max = self.p_data_mat[:, 1].min(), self.p_data_mat[:, 1].max()
      x2_min, x2_max = self.p_data_mat[:, 2].min(), self.p_data_mat[:, 2].max()
      xx1, xx2 = np.meshgrid(np.linspace(x1_min, x1_max), np.linspace(x2_min, x2_max))
      h = self.sigmoid(self.poly.fit_transform(np.c_[xx1.ravel(), xx2.ravel()]).dot(thetas))
      h = h.reshape(xx1.shape)
      ax1.contour(xx1, xx2, h, [0.5], linewidths=3)
    ax1.legend(fontsize=14)
    plt.show()
  @staticmethod
  def sigmoid(z):
    return 1.0 / (1 + np.exp(-z))
if __name__ == '__main__':
  my_logistic_regression = MyLogisticRegression()
  # my_logistic_regression.plot_data(x_label="线性不可分数据集")
  thetas, theta_set = my_logistic_regression.gradient_descent_reg(alpha=0.5, reg=0, iterations=500)
  my_logistic_regression.plot_data_reg(thetas=thetas, x_label="$\\lambda$ = {}".format(0))
  thetas = np.zeros((my_logistic_regression.p_data_mat.shape[1], 1))
  # 未知错误，有大佬解决可留言
  result = minimize(my_logistic_regression.cost_func_reg, thetas,
           args=(0, ),
           method=None,
           jac=my_logistic_regression.gradient_reg)
  my_logistic_regression.plot_data_reg(thetas=result.x, x_label="$\\lambda$ = {}".format(0))

二分类问题逻辑回归曲线编码实现


import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
class MyLogisticRegression:
  def __init__(self):
    plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
    # 包含数据和标签的数据集
    self.data = np.loadtxt("./data2.txt", delimiter=",")
    self.data_mat = self.data[:, 0:2]
    self.label_mat = self.data[:, 2]
    self.thetas = np.zeros((self.data_mat.shape[1]))
    # 生成多项式特征，最高6次项
    self.poly = PolynomialFeatures(6)
    self.p_data_mat = self.poly.fit_transform(self.data_mat)
  def cost_func_reg(self, theta, reg):
    """
    损失函数具体实现
    :param theta: 逻辑回归系数
    :param data_mat: 带有截距项的数据集
    :param label_mat: 标签数据集
    :param reg:
    :return:
    """
    m = self.label_mat.size
    label_mat = self.label_mat.reshape(-1, 1)
    h = self.sigmoid(self.p_data_mat.dot(theta))
    J = -1 * (1/m)*(np.log(h).T.dot(label_mat) + np.log(1-h).T.dot(1-label_mat))\
      + (reg / (2*m)) * np.sum(np.square(theta[1:]))
    if np.isnan(J[0]):
      return np.inf
    return J[0]
  def gradient_reg(self, theta, reg):
    m = self.label_mat.size
    h = self.sigmoid(self.p_data_mat.dot(theta.reshape(-1, 1)))
    label_mat = self.label_mat.reshape(-1, 1)
    grad = (1 / m)*self.p_data_mat.T.dot(h-label_mat) + (reg/m)*np.r_[[[0]], theta[1:].reshape(-1, 1)]
    return grad
  def gradient_descent_reg(self, alpha=0.01, reg=0, iterations=200):
    """
    逻辑回归梯度下降收敛函数
    :param alpha: 学习率
    :param reg:
    :param iterations: 最大迭代次数
    :return: 逻辑回归系数组
    """
    m, n = self.p_data_mat.shape
    theta = np.zeros((n, 1))
    theta_set = []
    for i in range(iterations):
      grad = self.gradient_reg(theta, reg)
      theta = theta - alpha*grad.reshape(-1, 1)
      theta_set.append(theta)
    return theta, theta_set
  def plot_data_reg(self, x_label=None, y_label=None, neg_text="negative", pos_text="positive", thetas=None):
    neg = self.label_mat == 0
    pos = self.label_mat == 1
    fig1 = plt.figure(figsize=(12, 8))
    ax1 = fig1.add_subplot(111)
    ax1.scatter(self.p_data_mat[neg][:, 1], self.p_data_mat[neg][:, 2], marker="o", s=100, label=neg_text)
    ax1.scatter(self.p_data_mat[pos][:, 1], self.p_data_mat[pos][:, 2], marker="+", s=100, label=pos_text)
    ax1.set_xlabel(x_label, fontsize=14)
    # 描绘逻辑回归直线（曲线）
    if isinstance(thetas, type(np.array([]))):
      x1_min, x1_max = self.p_data_mat[:, 1].min(), self.p_data_mat[:, 1].max()
      x2_min, x2_max = self.p_data_mat[:, 2].min(), self.p_data_mat[:, 2].max()
      xx1, xx2 = np.meshgrid(np.linspace(x1_min, x1_max), np.linspace(x2_min, x2_max))
      h = self.sigmoid(self.poly.fit_transform(np.c_[xx1.ravel(), xx2.ravel()]).dot(thetas))
      h = h.reshape(xx1.shape)
      ax1.contour(xx1, xx2, h, [0.5], linewidths=3)
    ax1.legend(fontsize=14)
    plt.show()
  @staticmethod
  def sigmoid(z):
    return 1.0 / (1 + np.exp(-z))
if __name__ == '__main__':
  my_logistic_regression = MyLogisticRegression()
  # my_logistic_regression.plot_data(x_label="线性不可分数据集")
  thetas, theta_set = my_logistic_regression.gradient_descent_reg(alpha=0.5, reg=0, iterations=500)
  my_logistic_regression.plot_data_reg(thetas=thetas, x_label="$\\lambda$ = {}".format(0))
  thetas = np.zeros((my_logistic_regression.p_data_mat.shape[1], 1))
  # 未知错误，有大佬解决可留言
  result = minimize(my_logistic_regression.cost_func_reg, thetas,
           args=(0, ),
           method=None,
           jac=my_logistic_regression.gradient_reg)
  my_logistic_regression.plot_data_reg(thetas=result.x, x_label="$\\lambda$ = {}".format(0))