【Java】我所知道的十大常用算法之普里姆算法

前言需求


今天我们学习的是普里姆算法,我们还是从一个场景里引入看看

【Java】我所知道的十大常用算法之普里姆算法

有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把7个村庄连通

1.各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里

2.问如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短?

我们的思路就是尽可能的选择少的路线,并且每条路线最小,保证总里程数最少

一、什么是普里姆算法

普利姆(Prim)算法求:最小生成树就是在包含n个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图,也就是所谓的极小连通子图

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二、通过示例认识普里姆算法

其实修路的问题本质就是最小生成树的问题

先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST

那么什么是最小生成树呢?其实就是给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小。这叫最小生成树

那么最小生成树有什么特点呢?

1.若有N个顶点,一定要至少有N-1条边
2.图要包含全部顶点
3.N-1条边要都在图中

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那么求最小生成树的算法主要有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

普里姆算法思路分析

1.设G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U是顶点集合,E,D是边的集合

2.若从顶点u开始构造最小生成树,则从集合V中取出顶点u放入集合U中,标记顶点v的visited[u]=1

3.若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路。

将顶点vj加入集合U中,将边(ui,vj)加入集合D中,标记visited[vj]=1

4.重复步骤②,直到U与V相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时D中有n-1条边

普里姆算法图解思路分析

1.假如从A顶点开始处理,将A放入集合中,并可连接到其他顶点有C、G、B

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2.此时这三条边的最小权重值是A-G 为2,于是我们G放入集合中,《A,G》

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3.此时这五条边的最小权重值是B-B 为3,于是我们B放入集合中,《A,G,B》

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4.此时这四条边的最小权重值是G-E 为4,于是我们E放入集合中,《A,G,B,E》

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此时这五条边的最小权重值是E-F 为5,以此类推加入到集合中....

最后的集合结果应该是<A,G,B,E,F,D,C>

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普里姆代码思路分析

1.我们需要一个存放顶点的char数组,以及顶点的边数
2.我们需要使用邻接矩阵来表示顶点之间的连接情况与权重值
3.我们需要生成minTree树
4.我们需要创建图

普里姆算法代码实践

1.使用邻接矩阵来表示图所之间连接关系与权重值

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//使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无

int[][] weight = new int[][]{

{0,5,7,0,0,0,2},

{5,0,0,9,0,0,3},

{7,0,0,0,8,0,0},

{0,9,0,0,0,4,0},

{0,0,8,0,0,5,4},

{0,0,0,4,5,0,6},

{2,3,0,0,4,6,0}

};

2.需要一个存放顶点的char数组,以及顶点的边数

//char[] 数组存放顶点个数

char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

int verxs = data.length;

3.创建图对象

class MGraph{

int verxs;//表示图的节点数

char[] data;//存放结点数据

int[][] weight;//存放边

public MGraph(int verxs) {

this.verxs = verxs;

data = new char[verxs];

weight = new int[verxs][verxs];

}

}

4.我们需要将创建的这些值与数组、赋值给到图对象,并创建输出图的方法

class MinTree{

//创建图的邻接矩阵

public void createGraph(MGraph graph,int verxs,char[] data,int[][] weight){

for ( int i = 0 ; i<verxs;i++){

//将char数组里的值赋值给图

graph.data[i] = data[i];

for (int j = 0; j<verxs;j++ ){

//将weight里的值赋值给图

graph.weight[i][j] = weight[i][j];

}

}

}

//打印图的信息

public void showGraph(MGraph graph){

for ( int[] link : graph.weight){

System.out.println(Arrays.toString(link));

}

}

}

接下来我们使用demo 完成图的创建与输出

public static void main(String[] args) {

//char[] 数组存放顶点个数

char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

//顶点之间的边

int verxs = data.length;

//使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无

int[][] weight = new int[][]{

{0,5,7,0,0,0,2},

{5,0,0,9,0,0,3},

{7,0,0,0,8,0,0},

{0,9,0,0,0,4,0},

{0,0,8,0,0,5,4},

{0,0,0,4,5,0,6},

{2,3,0,0,4,6,0}

};

MGraph graph = new MGraph(verxs);

MinTree minTree = new MinTree();

minTree.createGraph(graph,verxs,data,weight);

minTree.showGraph(graph);

}

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根据普里姆算法思路编写算法代码

1.我们的思路是先找到一个顶点开始,不断找相邻顶点,比如说A开始

找相邻顶点的条件是:A已访问,其他顶点为未访问

2.判断A-其他顶点的weight,是否是最小的

为了方便找到最小的,我们这里使用一个很大的数,来代替刚刚的:0

public void prim(MGraph graph,int v){

//使用数组标注节点是否被访问过

int[] visited = new int[graph.verxs];

for ( int i=0; i<visited.length; i++){

visited[i] = 0;

}

//将当前节点标注为已访问

visited[v] = 1;

int h1 = -1;

int h2 = -1;

int minWeight = 10000;

for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {

for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {

for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {

if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {

minWeight = graph.weight[i][j];

h1 = i;

h2 = j;

}

}

}

System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);

visited[h2] = 1;

minWeight = 10000;

}

}

即将上图所至的0 --> 10000

public static void main(String[] args) {

//char[] 数组存放顶点个数

char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

//顶点之间的边

int verxs = data.length;

//使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无

int[][] weight = new int[][]{

{10000,5,7,10000,10000,10000,2},

{5,10000,10000,9,10000,10000,3},

{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},

{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},

{10000,10000,8,10000,10000,5,4},

{10000,10000,10000,4,5,10000,6},

{2,3,10000,10000,4,6,10000}

};

MGraph graph = new MGraph(verxs);

MinTree minTree = new MinTree();

minTree.createGraph(graph,verxs,data,weight);

minTree.showGraph(graph);

minTree.prim(graph,0);

}

运行结果如下:

边<A,G> 权值:2

边<G,B> 权值:3

边<G,E> 权值:4

边<E,F> 权值:5

边<F,D> 权值:4

边<A,C> 权值:7

参考资料


以上是 【Java】我所知道的十大常用算法之普里姆算法 的全部内容, 来源链接: utcz.com/a/93838.html

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