【高等数学】函数与极限
本文为高等数学学习总结，讲解函数与极限。欢迎交流
映射与函数
函数的概念
函数通常简记为： y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),\quad x∈D y=f(x),x∈D，其中 D D D 称为定义域，记作 D f D_f Df。值域记作 R f R_f Rf 或 f ( D ) f(D) f(D)
不超过 x x x 的最大整数称为 x x x 的整数部分，记作 [ x ] [x] [x]。注意： [ − 3.5 ] = − 4 [-3.5]=-4 [−3.5]=−4
函数的特性
有界性
- 若 f ( x ) ≤ K 1 f(x)\le K_1 f(x)≤K1，则 f ( x ) f(x) f(x) 有上界；若 f ( x ) ≥ K 2 f(x)\ge K_2 f(x)≥K2，则 f ( x ) f(x) f(x) 有下界。且上下界不唯一
- 有界： ∃ M > 0 \exists M>0 ∃M>0，使得 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)|\le M ∣f(x)∣≤M。函数有界 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 函数有上界也有下界
- 无界： ∀ M > 0 , ∃ x 1 ∈ X \forall M>0,\exists x_1∈X ∀M>0,∃x1∈X，使得 ∣ f ( x 1 ) ∣ > M |f(x_1)|>M ∣f(x1)∣>M
奇偶性
- 定义域关于原点对称。
周期性
周期函数： ∃ l > 0 \exists l>0 ∃l>0，使得 f ( x + l ) = f ( x ) f(x+l)=f(x) f(x+l)=f(x)
通常说的周期就是最小周期，但并非每个函数都有最小周期：
反函数与复合函数
反函数
- 若 f f f 单调，则 f f f 单射，从而 f f f 必有反函数，且 f − 1 f^{-1} f−1 也单调
- 函数与反函数增减性相同
- 关于 y = x y=x y=x 对称
复合函数： t = f [ g ( x ) ] t=f[g(x)] t=f[g(x)]
- 要满足 R g ⊂ D f R_g⊂D_f Rg⊂Df
函数的运算
f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x) 满足 D = D f ∩ D g ≠ Φ D=D_f∩D_g≠Φ D=Df∩Dg=Φ
例 11 任意的函数可以表示为偶函数与奇函数的和。
证：假设存在，做奇偶变换解出 g ( x ) , h ( x ) g(x),h(x) g(x),h(x)，再验证 g ( x ) , h ( x ) g(x),h(x) g(x),h(x) 的奇偶性
初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
初等函数：基本初等函数做有限次四则运算或函数复合
三角函数
正割函数 sec x = 1 sin x \sec x=\frac{1}{\sin x} secx=sinx1
余割函数 csc x = 1 cos x \csc x=\frac{1}{\cos x} cscx=cosx1
二倍角公式
sin 2 α = 2 sin α cos α \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha sin2α=2sinαcosα
cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = cos 2 α − sin 2 α \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha cos2α=2cos2α−1=1−2sin2α=cos2α−sin2α
tan 2 α = 2 tan α 1 − tan 2 α \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} tan2α=1−tan2α2tanα
半角公式
sin α 2 = ± 1 − cos α 2 \sin\frac{\alpha}{2}=±\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} sin2α=±21−cosα
cos α 2 = ± 1 + cos α 2 \cos\frac{\alpha}{2}=±\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} cos2α=±21+cosα
tan α 2 = sin α 1 + cos α = 1 − cos α sin α = ± 1 − cos α 1 + cos α \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=±\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} tan2α=1+cosαsinα=sinα1−cosα=±1+cosα1−cosα
三角函数值的正负由 α 2 \frac{\alpha}{2} 2α 所在象限决定。
和差化积（记忆口诀）
正和正在先： sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−β
正差正后迁： sin α − sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 \sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} sinα−sinβ=2sin2α+βcos2α−β
余和一色余： cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−β
余差翻了天： cos α − cos β = − 2 sin α + β 2 sin α − β 2 \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β
反三角函数
数列的极限
数列
序列 x 1 , x 2 , … , x n , … x_1,x_2,…,x_n,… x1,x2,…,xn,… 叫做数列，简记为数列 { x n } \{x_n\} {xn}， x n x_n xn 为数列的一般项（或通项）
数列极限的定义
对于任意小的距离，总存在某项，其后面的所有项都落在小区域 ∣ x n − a ∣ < ϵ |x_n-a|<\epsilon ∣xn−a∣<ϵ 内。 a a a 为数列的极限或数列收敛于 a a a（做题几乎不用这个定义）
函数极限
无穷大与无穷小
无穷小
如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 当 x → x 0 x\to x_0 x→x0（或 x → ∞ x\to\infin x→∞）时的极限为 0，则称函数 f ( x ) f(x) f(x) 为 x → x 0 x\to x_0 x→x0（或 x → ∞ x\to\infin x→∞）时的无穷小。
自变量统一变化过程 x → x 0 x\to x_0 x→x0（或 x → ∞ x\to\infin x→∞）中，函数 f ( x ) f(x) f(x) 具有极限 A A A 的充要条件是 f ( x ) = A + α f(x)=A+\alpha f(x)=A+α，其中 α \alpha α 为无穷小。
无穷大
设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 的某一去心邻域内有定义（或 ∣ x ∣ |x| ∣x∣ 大于某一正数时有定义）。如果 ∀ M > 0 \forall M>0 ∀M>0（无论多么大）， ∃ δ > 0 \exist\delta>0 ∃δ>0（或 X > 0 X>0 X>0），适合不等式 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<∣x−x0∣<δ（或 ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X），对应函数值满足： ∣ f ( x ) ∣ > M |f(x)|>M ∣f(x)∣>M，则称其是 x → x 0 x\to x_0 x→x0（或 x → ∞ x\to\infin x→∞）时的无穷大。极限不存在。
自变量同一变化过程中，如果 f ( x ) f(x) f(x) 为无穷大，则 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1 为无穷小，反之同理。
极限运算法则
定理
有限个无穷小的和是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
- 常数与无穷小的乘积是无穷小
- 有限个无穷小的乘积是无穷小
两函数加减乘除的极限=两极限的加减乘除
如果 f ( x ) ≥ g ( x ) f(x)\ge g(x) f(x)≥g(x)，则 lim f ( x ) ≥ lim g ( x ) \lim f(x)\ge \lim g(x) limf(x)≥limg(x)
极限存在准则
夹逼准则
对于数列 { x n } , { y n } , { z n } \{x_n\},\{y_n\},\{z_n\} {xn},{yn},{zn}，若从某项起 y n ≤ x n ≤ z n y_n\le x_n\le z_n yn≤xn≤zn，且 lim y n = lim z n = a \lim y_n=\lim z_n=a limyn=limzn=a，则 lim x n = a \lim x_n=a limxn=a
函数极限同理，将无穷换为领域。
单调有界定理
- 单调有界数列必有极限
- 函数在领域单调有界，则在领域有极限。
柯西极限存在准则（柯西审敛定理）
数列 { x n } \{x_n\} {xn} 收敛的充要条件是： ∀ ϵ > 0 , ∃ N > 0 \forall\epsilon>0,\exist N>0 ∀ϵ>0,∃N>0，使得当 m > N , n > N m>N,n>N m>N,n>N 时，有 ∣ x n − x m ∣ < ϵ |x_n-x_m|<\epsilon ∣xn−xm∣<ϵ。
无穷小的比较
定义
如果 lim β α = 0 \lim\frac{\beta}{\alpha}=0 limαβ=0，则 β \beta β 是 α \alpha α 的高阶无穷小，记作 β = o ( α ) \beta=o(\alpha) β=o(α)
如果 lim β α = ∞ \lim\frac{\beta}{\alpha}=\infin limαβ=∞，则 β \beta β 是 α \alpha α 的低阶无穷小
如果 lim β α = c ≠ 0 \lim\frac{\beta}{\alpha}=c≠0 limαβ=c=0，则 β \beta β 是 α \alpha α 的同阶无穷小
如果 lim β α k = c ≠ 0 , k > 0 \lim\frac{\beta}{\alpha^k}=c≠0,k>0 limαkβ=c=0,k>0，则 β \beta β 是 α \alpha α 的 k k k 阶无穷小
如果 lim β α = 1 \lim\frac{\beta}{\alpha}=1 limαβ=1，则 β \beta β 是 α \alpha α 的等价无穷小，记作 α ∼ β \alpha\sim\beta α∼β
定理
β \beta β 与 α \alpha α 是等价无穷小的充要条件是 β = α + o ( α ) \beta=\alpha+o(\alpha) β=α+o(α)
求两个无穷小之比的极限时，分子分母的因子可用等价无穷小替换
函数的连续性与间断点
函数的连续性
函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某一领域内有定义，若：
lim Δ x → 0 Δ y = lim Δ x → 0 [ f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ] = 0 \lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0 Δx→0limΔy=Δx→0lim[f(x0+Δx)−f(x0)]=0
或：
lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) x→x0limf(x)=f(x0)
称函数在点 x 0 x_0 x0 连续。
如果区间包含端点，函数在左端点右连续，在右端点左连续。
函数的间断点
间断点的三种情形
- 该点没有定义
- 该点极限不存在
- 该点极限不等于函数值
间断点类型
连续函数的运算与初等函数的连续性
函数在点 x 0 x_0 x0 连续，其和差积商都在点 x 0 x_0 x0 连续。
函数在区间上单调且连续，则其反函数单调且连续，单调性相同。反三角函数在定义域内都是连续的
复合函数的连续性可以传递
初等函数在定义域内连续
闭区间上连续函数的性质
有界性和最值定理
闭区间上的连续函数一定有界且能取得最大最小值。
零点定理与介值定理
零点定理：函数在闭区间左右端点异号，则开区间必存在零点
介值定理：函数在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续， f ( a ) = A , f ( b ) = B f(a)=A,f(b)=B f(a)=A,f(b)=B，则 ∀ C \forall C ∀C 在 A , B A,B A,B 之间，开区间至少存在一点 ξ \xi ξ，使得 $f(\xi)=C。
一致连续性
函数在区间有定义， ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 \forall \epsilon>0,\exist\delta>0 ∀ϵ>0,∃δ>0，使得区间上任意两点 x 1 , x 2 x_1,x2 x1,x2，在 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ |x_1-x_2|<\delta ∣x1−x2∣<δ 时有：
∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ϵ |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon ∣f(x1)−f(x2)∣<ϵ
称函数在区间上一致连续。
一致连续性定理：函数在闭区间连续，则一致连续。
得 f ( ξ ) = C f(\xi)=C f(ξ)=C。
一致连续性
函数在区间有定义， ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 \forall \epsilon>0,\exist\delta>0 ∀ϵ>0,∃δ>0，使得区间上任意两点 x 1 , x 2 x_1,x2 x1,x2，在 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ |x_1-x_2|<\delta ∣x1−x2∣<δ 时有：
∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ϵ |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon ∣f(x1)−f(x2)∣<ϵ
称函数在区间上一致连续。
一致连续性定理：函数在闭区间连续，则一致连续。
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