【bzoj2121】字符串游戏区间dp
题目描述
给你一个字符串L和一个字符串集合S，如果S的某个子串在S集合中，那么可以将其删去，剩余的部分拼到一起成为新的L串。问：最后剩下的串长度的最小值。
输入
输入的第一行包含一个字符串，表示L。
第二行包含一个数字n，表示集合S中元素个数。
以下n行，每行一个字符串，表示S中的一个元素。
输入字符串都只包含小写字母。
输出
输出一个整数，表示L的最短长度。
样例输入
aaabccd
3
ac
abc
aaa
样例输出
2
题解
我们考虑：每次删除连续的一段，对应到原串上即：删除 $[l,r]$ 中所有未被删除的字符。其中 $l,r$ 都未被删除。
这样就相当于选择若干区间来删除。
注意到选择的任意两个区间要么包含要么不相交（相离），对于相邻的相离的也可以看作是包含（右区间左端点看作是左区间左端点，即一个空位置），因此只有包含关系。
那么如下图：
先选择 $[b,c]$ 的串 $S$ ，再选择 $[a,d]$ 的串 $T$ ，可以看作是处理出 $[a,b)$ 能够匹配到 $T$ 的中间位置，$[b,c]$ 能够匹配到 $S$ 的结束位置（即删除掉），进而推知 $[a,c]$ 能够匹配到 $T$ 的中间位置，再向右匹配得知 $[a,d]$ 能够匹配到 $T$ 的结束位置。
考虑区间dp。设 $f[l][r]$ 表示 $[l,r]$ 是否可以全部删掉，再设 $g[l][r][i][j]$ 表示 $[l,r]$ 是否能够删成第 $i$ 个字符串的前 $j$ 个字符。
那么考虑区间 $[l,r]$ ，如果进行匹配的话转移为 $g[l][r][i][j]=g[l][r-1][i][j-1]$ ，前提条件 $str[r]==w[i][j]$ ，即区间右端点和第 $i$ 个串的第 $j$ 个字符相同。
如果不进行匹配的话，$r$ 一定在某个 $[k,r]$ 中被消掉，因此枚举 $k\in[l,r]$ ，转移为 $g[l][r][i][j]=g[l][k-1][i][j]\&\&f[k][r]$ 。
根据 $f$ 的定义有转移 $f[l][r]=g[l][r][i][len[i]]$ 。
这样我们就能够推出 $f$ 和 $g$ 。
再考虑答案：设 $h[i]$ 表示前 $i$ 个字符的答案，那么 $h[i]=h[i-1]+1$ ；如果某个 $j$ 满足 $f[j][i]=1$ ，即 $[j,i]$ 能删掉，则还有 $h[i]=h[j-1]$ 。
最终答案就是 $h[n]$ 。
时间复杂度 $O(n^3·m·len)$
#include <cstdio>#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool f[155][155] , g[155][155][35][25];
char str[155] , w[35][25];
int c[35] , ans[155];
int main()
{
int n , m , len , l , r , i , j , k;
scanf("%s%d" , str + 1 , &m) , n = strlen(str + 1);
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%s" , w[i] + 1) , c[i] = strlen(w[i] + 1);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
f[i][i - 1] = 1;
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
g[i][i - 1][j][0] = 1;
}
for(len = 1 ; len <= n ; len ++ )
{
for(l = 1 ; l <= n - len + 1 ; l ++ )
{
r = l + len - 1;
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
{
for(j = 1 ; j <= c[i] ; j ++ )
if(str[r] == w[i][j])
g[l][r][i][j] |= g[l][r - 1][i][j - 1];
for(j = 0 ; j <= c[i] ; j ++ )
for(k = l ; k <= r ; k ++ )
g[l][r][i][j] |= g[l][k - 1][i][j] & f[k][r];
}
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) f[l][r] |= g[l][r][i][c[i]];
}
}
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
ans[i] = ans[i - 1] + 1;
for(j = 1 ; j <= i ; j ++ )
if(f[j][i])
ans[i] = min(ans[i] , ans[j - 1]);
}
printf("%d\n" , ans[n]);
return 0;
}
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