同步电机的输出功率是多少？
考虑同步电机以滞后功率因数运行。同步电机的电压方程由下式给出，
$$\mathrm{V=E_{f}+I_{a}Z_{S}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
在哪里，
$$\mathrm{V=V\angle 0°\:and\:E_{f}=E_{f}\:\angle-δ}$$
$$\mathrm{\therefore\:I_{a}=\frac{V-E_{f}}{Z_{S}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:I_{a}=\frac{V\angle 0°-E_{f}-δ}{Z_{S}\angleθ_{Z}}=\frac{V}{Z_{ S}}\angle-θ_{Z}-\frac{E_{f}}{Z_{S}}\angle-(δ+θ_{Z})}$$
$$\mathrm{\therefore\:I^{*}_{a}=\frac{V}{Z_{S}}\angleθ_{Z}-\frac{E_{f}}{Z_{S}} \angle(δ+θ_{Z})\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
同步电机每相的复数功率输出
同步电机的复功率输出由下式给出，
$$\mathrm{S_{o}=E_{f}I^{*}_{a}=P_{o}+jQ_{o}\:\:\:\:\:\:...(4 )}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:S_{o}=E_{f}\:\angle-δ\left(\frac{V}{Z_{S}}\angleθ_{Z}-\frac{E_{f }}{Z_{S}}\angle(δ+θ_{Z})\right)}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:S_{o}=\left(\frac{VE_{f}}{Z_{S}}cos(θ_{Z}-δ)+j\frac{VE_{f}} {Z_{S}}sin(θ_{Z}-δ)\right)-\left(\frac{E^{2}_{f}}{Z_{S}}cosθ_{Z}+j\frac{ E^{2}_{f}}{Z_{S}}sinθ_{Z}\right)}$$
$$\mathrm{\therefore\:S_{o}=\left(\frac{VE_{f}}{Z_{S}}cos(θ_{Z}-δ)-\frac{E^{2}_ {f}}{Z_{S}}cosθ_{Z}\right)+j\left(\frac{VE_{f}}{Z_{S}}sin(θ_{Z}-δ)-\frac{E ^{2}_{f}}{Z_{S}}sinθ_{Z}\right)\:\:\:\:\:\:...(5)}$$
同步电机每相的实际功率输出
通过等式(5)的实部，我们得到同步电机的有功输出，即，
$$\mathrm{P_{o}=\frac{VE_{f}}{Z_{S}}cos(θ_{Z}-δ)-\frac{E^{2}_{f}}{Z_{ S}}cosθ_{Z}}$$
$$\mathrm{\because\:cosθ_{Z}=\frac{R_{a}}{Z_{S}}}$$
$$\mathrm{\therefore\:P_{o}=\frac{VE_{f}}{Z_{S}}cos(θ_{Z}-δ)-\frac{E^{2}_{f} }{Z^{2}_{S}}R_{a}\:\:\:\:\:\:...(6)}$$
但，
$$\mathrm{θ_{Z}=(90°-α_{Z});cos(θ_{Z}-δ)=cos(90°-δ+α_{Z})=sin(δ+α_{Z} })}$$
$$\mathrm{\therefore\:P_{o}=\frac{VE_{f}}{Z_{S}}sin(δ+α_{Z})-\frac{E^{2}_{f} }{Z^{2}_{S}}R_{a}\:\:\:\:\:\:...(7)}$$
同步电机每相无功功率输出
通过等式(5)的虚部，我们得到同步电机的无功功率输出，即，
$$\mathrm{Q_{o}=\frac{VE_{f}}{Z_{S}}sin(θ_{Z}-δ)-\frac{E^{2}_{f}}{Z_{ S}}sinθ_{Z}}$$
$$\mathrm{\because\:sinθ_{Z}=\frac{X_{S}}{Z_{S}}}$$
$$\mathrm{\therefore\:Q_{o}=\frac{VE_{f}}{Z_{S}}sin(θ_{Z}-δ)-\frac{E^{2}_{f} }{Z^{2}_{S}}R_{a}\:\:\:\:\:\:...(8)}$$
但，
$$\mathrm{θ_{Z}=(90°-α_{Z});sin(θ_{Z}-δ)=sin(90°-δ+α_{Z})=cos(δ+α_{Z} })}$$
$$\mathrm{\therefore\:Q_{o}=\frac{VE_{f}}{Z_{S}}cos(δ+α_{Z})-\frac{E^{2}_{f} }{Z^{2}_{S}}X_{S}\:\:\:\:\:\:...(9)}$$
此外，对于同步电机，轴上可用的输出功率由下式给出，
$$\mathrm{P_{sh}=P_{o}-Rotational\: loss\:\:\:\:\:\:...(10)}$$
其中，p o是电机产生的机械功率（或总功率）。旋转损耗包括磁芯损耗、摩擦损耗和风阻损耗。
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