谓词演算的推理规则

Z时代
2024-01-10
分类：综合

为了从我们已经知道其真实性的陈述中推断出新的陈述，使用了推理规则。

推理规则有什么用？

数学逻辑通常用于逻辑证明。证明是确定数学陈述的真值的有效参数。

参数是一系列语句。最后一个陈述是结论，其前面的所有陈述都称为前提（或假设）。结论之前放置符号“∴”（因此请阅读）。一个有效的论点是根据前提的真实值得出结论的论点。

推理规则提供了从现有语句中构造有效参数的模板或指南。

推论规则表

推论规则	名称	推论规则	名称
$$\ begin {matrix} P \\ \ hline \ there P \ lor Q \ end {matrix} $$	加成	$$\ begin {matrix} P \ lor Q \\ \ nott P \\ \ hline \因此Q \ end {matrix} $$	析取三段论
$$\ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \因此P \ land Q \ end {matrix} $$	连词	$$\ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \因此P \ rightarrow R \ end {matrix} $$	假设三段论
$$\ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \因此P \ end {matrix} $$	简化版	$$\ begin {matrix}（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）\\ P \ lor R \\ \ hline \因此Q \ lor S \ end {matrix} $$	建设性困境
$$\ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \因此Q \ end {matrix} $$	方式	$$\ begin {matrix}（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）\\ \ nott Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \因此\ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$	破坏性困境
$$\ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \因此\ lnot P \ end {matrix} $$	方式收费

加成

如果P是一个前提，我们可以使用加法规则得出$P \ lor Q $。

$$\ begin {matrix} P \\ \ hline \ there P \ lor Q \ end {matrix} $$

示例

以P为命题，“他努力学习”是对的

因此-“要么他学习非常努力，要么他是一个非常糟糕的学生。” Q是命题“他是一个很坏的学生”。

连词

如果P和Q是两个前提，则可以使用合取规则导出$P \ land Q $。

$$\ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \因此P \ land Q \ end {matrix} $$

示例

让P-“他学习很努力”

让Q-“他是班上最好的男孩”

因此-“他学习非常努力，是班上最好的男孩”

简化版

如果$P \ land Q $是一个前提，我们可以使用简化规则得出P。

$$\ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \因此P \ end {matrix} $$

示例

“他学习非常努力，是班上最好的男孩”，$P \ land Q $

因此-“他学习很努力”

方式

如果P和$P \ rightarrow Q $是两个前提，我们可以使用Modus Ponens来推导Q。

$$\ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \因此Q \ end {matrix} $$

示例

$P \ rightarrow Q $“如果您有密码，则可以登录Facebook”

“您有密码”，P

因此-“您可以登录到Facebook”

方式收费

如果$P \ rightarrow Q $和$\ lnot Q $是两个前提，我们可以使用Modus Tollens推导$\ lnot P $。

$$\ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \因此\ lnot P \ end {matrix} $$

示例

$P \ rightarrow Q $“如果您有密码，则可以登录Facebook”

“您无法登录到Facebook”，$\ lnot Q $

因此-“您没有密码”

析取三段论

如果$\ lnot P $和$P \ lor Q $是两个前提，我们可以使用析取三段论得出Q。

$$\ begin {matrix} \ lnot P \\ P \ lor Q \\ \ hline \因此Q \ end {matrix} $$

示例

“冰淇淋没有香草味”，$\ Lnot P $

“冰淇淋是香草味或巧克力味”，$P \或Q $

因此-“冰淇淋是巧克力味的”

假设三段论

如果$P \ rightarrow Q $和$Q \ rightarrow R $是两个前提，我们可以使用假设三段论推导$P \ rightarrow R $

$$\ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \因此P \ rightarrow R \ end {matrix} $$

示例

$P \ rightarrow Q $“如果下雨，我不会去上学”

$Q \ rightarrow R $“如果我不上学，就不需要做家庭作业”

因此-“下雨了，我就不用做功课了”

建设性困境

如果$（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）$和$P \ lor R $是两个前提，我们可以使用构造性难题得出$Q \ lor S $。

$$\ begin {matrix}（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）\\ P \ lor R \\ \ hline \因此Q \ lor S \ end {matrix} $$

示例

“如果下雨，我会请假”，$（P \ rightarrow Q）$

“如果外面很热，我去洗个澡”，$（R \ rightarrow S）$

“要么下雨，要么外面很热”，$P \ lor R $

因此-“我请假或去洗个澡”

破坏性困境

如果$（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）$和$\ lnot Q \ lor \ lnot S $是两个前提，我们可以使用破坏性难题来得出$\ lnot P \ lor \ lnot R $。

$$\ begin {matrix}（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）\\ \ nott Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \因此\ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$

示例