三边测量和定位点（x，y，z）
我想找到一个未知节点的坐标，该节点位于空间中的某个地方，该参考距离3个或更多节点（它们都具有已知坐标）的参考距离。
此问题与此处描述的Trilateration完全一样。
但是，我不了解有关“初步和最终计算”的部分（请参阅Wikipedia网站）。我没有找到P1，P2和P3的地方，所以我可以将这些方程式放在那儿？
谢谢
回答：
三边测量是找到三个球体相交区域的中心的过程。必须知道三个球体中每一个的中心点和半径。
让我们考虑您的三个示例中心点P1 [-1,1]，P2 [1,1]和P3 [-1，-1]。第一个要求是P1’在原点，因此让我们通过向所有三个相加偏移向量V
[1，-1]来相应地调整点：
P1' = P1 + V = [0, 0]P2' = P2 + V = [2, 0]
P3' = P3 + V = [0,-2]
注意：调整后的点由’（主要）注释表示。
P2’也必须位于x轴上。在这种情况下，它已经存在，因此无需进行任何调整。
我们假设每个球体的半径为2。
现在，我们有3个方程（给定的）和3个未知数（相交点的X，Y，Z）。
解决P4’x：
x = (r1^2 - r2^2 + d^2) / 2d //(d,0) are coords of P2'x = (2^2 - 2^2 + 2^2) / 2*2
x = 1
解决P4’y：
y = (r1^2 - r3^2 + i^2 + j^2) / 2j - (i/j)x //(i,j) are coords of P3'y = (2^2 - 2^2 + 0 + -2^2) / 2*-2 - 0
y = -1
对于2D问题，请忽略z。
P4’= [1，-1]
现在，我们通过减去偏移向量V将其转换回原始坐标空间：
P4 = P4’-V = [0,0]
解点P4位于预期的原点。
本文的后半部分描述一种表示一组点的方法，其中P1不在原点或P2不在x轴上，以使它们适合那些约束。我更喜欢将其视为翻译，但是这两种方法将导致相同的解决方案。
如果将P1平移到原点后P2’不在x轴上，则必须在视图上旋转。
首先，让我们创建一些新的矢量作为示例：P1 = [2,3] P2 = [3,4] P3 = [5,2]
请记住，我们必须首先将P1转换为原点。与往常一样，偏移矢量V为-P1。在这种情况下，V = [-2，-3]
P1' = P1 + V = [2,3] + [-2,-3] = [0, 0]P2' = P2 + V = [3,4] + [-2,-3] = [1, 1]
P3' = P3 + V = [5,2] + [-2,-3] = [3,-1]
要确定旋转角度，我们必须找到P2’和[1,0]（x轴）之间的角度。
我们可以使用点积相等：
A dot B = ||A|| ||B|| cos(theta)当B为[1,0]时，可以简化：点B始终只是A的X分量，而|| B || （B的大小）始终乘以1，因此可以忽略。
现在我们有Ax = || A || cos（theta），我们可以将其重新排列为最终方程：
theta = acos(Ax / ||A||)或者在我们的情况下：
theta = acos(P2'x / ||P2'||)我们使用|| A ||计算P2’的大小。= sqrt（Ax + Ay + Az）
||P2'|| = sqrt(1 + 1 + 0) = sqrt(2)插入我们可以解决theta
theta = acos(1 / sqrt(2)) = 45 degrees现在，让我们使用旋转矩阵将场景旋转-45度。由于P2’y为正，并且旋转矩阵逆时针旋转，因此我们将使用负旋转将P2与x轴对齐（如果P2’y为负，则不要取反theta）。
R(theta) = [cos(theta) -sin(theta)] [sin(theta) cos(theta)]
R(-45) = [cos(-45) -sin(-45)]
[sin(-45) cos(-45)]
我们将使用双质数符号’‘来表示已平移和旋转的向量。
P1'' = [0,0] (no need to calculate this one)P2'' = [1 cos(-45) - 1 sin(-45)] = [sqrt(2)] = [1.414]
[1 sin(-45) + 1 cos(-45)] = [0] = [0]
P3'' = [3 cos(-45) - (-1) sin(-45)] = [sqrt(2)] = [ 1.414]
[3 sin(-45) + (-1) cos(-45)] = [-2*sqrt(2)] = [-2.828]
现在您可以使用P1’‘，P2’‘和P3’‘求解P4’‘。将反向旋转应用于P4’‘以获取P4’，然后反向转换以获取P4，即您的中心点。
要撤消旋转，请将P4’‘乘以R（-theta），在这种情况下为R（45）。要撤消转换，请减去偏移向量V，该偏移向量V与添加P1相同（假定您最初使用-P1作为您的V）。
以上是 三边测量和定位点（x，y，z） 的全部内容， 来源链接： utcz.com/qa/411375.html
