将给定数字表示为四个平方的总和

  • Z时代
  • 2024-01-10
  • 分类：问答

我正在寻找一种算法，该算法将给定数字表示为（最多）四个平方的总和。

例子

120 = 8 2 + 6 2 + 4 2 + 2 2

6 = 0 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2

20 = 4 2 + 2 2 + 0 2 + 0 2

我的方法

取平方根，其余部分重复此步骤：

while (count != 4) {
    root = (int) Math.sqrt(N)
    N -= root * root
    count++
}

但是，即使有解决方案，当 N 为23时，此操作也会失败：

3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2

题

  1. 还有其他算法可以做到吗？

  2. 总是有可能吗？

回答：

永远有可能吗？

是的，拉格朗日的四平方定理指出：

每个自然数都可以表示为四个整数平方的和。

已经通过多种方式证明了这一点。

算法

有一些更聪明的算法，但是我建议使用以下算法：

将数字分解为主要因子。它们不必是素数，但是它们越小越好：素数是最好的。然后针对以下每个因素解决任务，并将得到的4个正方形与先前找到的4个正方形（具有Euler的四正方形标识）组合。

（a 2 + b 2 + c 2 + d 2）（A 2 + B 2 + C 2 + D 2）=

（aA + bB + cC + dD）2 +

（aB-bA + cD-dC）2 +

（ aC-bD-cA + dB）2 +

（aD + bC-cB-dA）2

  1. 给定一个数 n （上述因素之一），得到不大于 n 的最大平方，然后看一下用Legendre的三平方定理， n 减去该平方是否可以写成三个平方的和：当且仅当此数字不是以下格式时，才有可能：

4 一个（8B + 7）

如果找不到合适的正方形，请尝试下一个较小的正方形，直到找到一个。它保证会有一个，并且大多数都可以在几次重试中找到。

  1. 尝试以与步骤1相同的方式找到实际的第二个平方项，但现在使用费马定理对两个平方和求和来测试其可行性，这在扩展方面意味着：

如果所有与3模4一致的 n 的质数因子均出现偶数指数，则 n 可表示为两个平方之和。反之亦成立。

如果找不到合适的正方形，请尝试下一个较小的正方形，直到找到一个。保证会有一个。

  1. 现在我们减去两个平方后得到余数。尝试减去第三个平方，直到得出另一个平方，这意味着我们有了解决方案。通过首先排除最大平方除数可以改善此步骤。然后，当识别出两个平方项时，每个项可以再次乘以该平方除数的平方根。

这大概是个主意。为了找到主要因素，有几种解决方案。下面我将仅使用Eratosthenes筛。

这是JavaScript代码，因此您可以立即运行它-它将产生一个随机数作为输入并将其显示为四个平方的和：

function divisor(n, factor) {
    var divisor = 1;
    while (n % factor == 0) {
        n = n / factor;
        divisor = divisor * factor;
    }
    return divisor;
}
function getPrimesUntil(n) {
    // Prime sieve algorithm
    var range = Math.floor(Math.sqrt(n)) + 1;
    var isPrime = Array(n).fill(1);
    var primes = [2];
    for (var m = 3; m < range; m += 2) {
        if (isPrime[m]) {
            primes.push(m);
            for (var k = m * m; k <= n; k += m) {
                isPrime[k] = 0;
            }
        }
    }
    for (var m = range; m <= n; m += 2) {
        if (isPrime[m]) primes.push(m);
    }
    return {
        primes: primes,
        factorize: function (n) {
            var p, count, primeFactors;
            // Trial division algorithm
            if (n < 2) return [];
            primeFactors = [];
            for (p of this.primes) {
                count = 0;
                while (n % p == 0) {
                    count++;
                    n /= p;
                }
                if (count) primeFactors.push({value: p, count: count});
            }
            if (n > 1) {
                primeFactors.push({value: n, count: 1});
            }
            return primeFactors;
        }
    }
}
function squareTerms4(n) {
    var n1, n2, n3, n4, sq, sq1, sq2, sq3, sq4, primes, factors, f, f3, factors3, ok,
        res1, res2, res3, res4;
    primes = getPrimesUntil(n);
    factors = primes.factorize(n);
    res1 = n > 0 ? 1 : 0;
    res2 = res3 = res4 = 0;
    for (f of factors) { // For each of the factors:
        n1 = f.value;
        // 1. Find a suitable first square
        for (sq1 = Math.floor(Math.sqrt(n1)); sq1>0; sq1--) {
            n2 = n1 - sq1*sq1;
            // A number can be written as a sum of three squares
            // <==> it is NOT of the form 4^a(8b+7)
            if ( (n2 / divisor(n2, 4)) % 8 !== 7 ) break; // found a possibility
        }
        // 2. Find a suitable second square
        for (sq2 = Math.floor(Math.sqrt(n2)); sq2>0; sq2--) {
            n3 = n2 - sq2*sq2;
            // A number can be written as a sum of two squares
            // <==> all its prime factors of the form 4a+3 have an even exponent
            factors3 = primes.factorize(n3);
            ok = true;
            for (f3 of factors3) {
                ok = (f3.value % 4 != 3) || (f3.count % 2 == 0);
                if (!ok) break;
            }
            if (ok) break;
        }
        // To save time: extract the largest square divisor from the previous factorisation:
        sq = 1;
        for (f3 of factors3) {
            sq *= Math.pow(f3.value, (f3.count - f3.count % 2) / 2);
            f3.count = f3.count % 2;
        }
        n3 /= sq*sq;
        // 3. Find a suitable third square
        sq4 = 0;
        // b. Find square for the remaining value:
        for (sq3 = Math.floor(Math.sqrt(n3)); sq3>0; sq3--) {
            n4 = n3 - sq3*sq3;
            // See if this yields a sum of two squares:
            sq4 = Math.floor(Math.sqrt(n4));
            if (n4 == sq4*sq4) break; // YES!
        }
        // Incorporate the square divisor back into the step-3 result:
        sq3 *= sq;
        sq4 *= sq;
        // 4. Merge this quadruple of squares with any previous
        // quadruple we had, using the Euler square identity:
        while (f.count--) {
            [res1, res2, res3, res4] = [
                Math.abs(res1*sq1 + res2*sq2 + res3*sq3 + res4*sq4),
                Math.abs(res1*sq2 - res2*sq1 + res3*sq4 - res4*sq3),
                Math.abs(res1*sq3 - res2*sq4 - res3*sq1 + res4*sq2),
                Math.abs(res1*sq4 + res2*sq3 - res3*sq2 - res4*sq1)
            ];
        }
    }
    // Return the 4 squares in descending order (for convenience):
    return [res1, res2, res3, res4].sort( (a,b) => b-a );
}
// Produce the result for some random input number
var n = Math.floor(Math.random() * 1000000);
var solution = squareTerms4(n);
// Perform the sum of squares to see it is correct:
var check = solution.reduce( (a,b) => a+b*b, 0 );
if (check !== n) throw "FAILURE: difference " + n + " - " + check;
// Print the result
console.log(n + ' = ' + solution.map( x => x+'²' ).join(' + '));

迈克尔·巴尔（MichaelBarr）撰写的有关该主题的文章可能代表了一种更省时的方法，但是本文的目的更多是作为一种证明，而不是一种算法。但是，如果您需要更高的时间效率，则可以考虑将其与更高效的分解算法一起使用。

以上是 将给定数字表示为四个平方的总和 的全部内容， 来源链接： utcz.com/qa/403962.html

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