为什么会精度丢失？教你看懂 IEEE-754！
原文链接：https://ssshooter.com/2020-09...
上图来自维基百科。
IEEE-754 标准是一个浮点数标准，存在 32、64、128 bit 三种格式（上面两幅图分别是 32 bit 和 64 bit 的情况，结构是一致的），JavaScript 使用的是 64 位，也就是常说的“双精度”，本文将以 64 位举例讲解 IEEE-754 标准。
从图中可知，IEEE-754 标准将 64 位分为三部分：
sign，1 bit 的标识位，0 为正数，1 为负数
exponent，指数，11 bit
fraction，小数部分，52 bit
为了举例方便，我们使用下面这串数字介绍 IEEE-754 标准
0100000001101101001000000000000000000000000000000000000000000000
不多不少 64 位，不信的数一数
sign
第 63 位（也是从左到右看的第一个数），在举例中，sign（符号）的值是 0，也就代表着这是一个正数。
fraction
之所以说 0 到 51 位（共 52 位）是 “fraction（小数）”，是因为这段数字在处理时会置于 1.（会有特例，后面会说）之后。
在举例中，属于 fraction 的 52 位是：
1101001000000000000000000000000000000000000000000000
这 52 位数字在本文中简称为 f（f 代指 fraction），加上前面提到需要添加的 1.，所谓的 1.f 是这样的：
1.1101001000000000000000000000000000000000000000000000
如果你问为什么要塞个 1 在前面，我也没查，总之就是这么规定的，这确实是名副其实的“小数”
但是拿到这一长串 1.f 要怎么用呢？就得结合 exponent 部分。
exponent
为更清晰地说明 exponent（指数）从二进制到十进制的转换，借用此文的一个“表格”：
%00000000000 0 → −1023 (lowest number)
%01111111111 1023 → 0
%11111111111 2047 → 1024 (highest number)
%10000000000 1024 → 1
%01111111110 1022 → −1
请特别注意，01111111111 代表的是 0，往上是正数，往下是负数
抽离出上面例子的 52 到 62 位（共 11 位），得到：10000000110，再转为十进制数 1030，因为 1023 才是 0，所以减去 1023 算出真正结果，即是 7。
要使用这个 exponent（指数，下面用字母 e 指代指数），我们将上面得到的 1.f 乘上 2 的 7 次方(为了节省位置，省略掉后面的 0)：
1.f × 2e−1023 = 1.1101001 × 27 = 11101001
（注意了，这是二！进！制！类比成十进制就是类似：1.3828171 × 107 = 13828171）
这就是“浮点数”的所谓浮点（Floating Point），小数点的位置可以随着指数的值左右漂移，这样可以更精细地表示一个数字；
与之相对的是定点（Fixed Point），例如一个数最大是 1111111111.1111111111，小数点永远固定在中间，这时候要表示绝对值小于或大于 1111111111.1111111111 的数就变得完全没有办法了。
在组合“fraction（小数）”和“exponent（指数）”得到 11101001 后，转为十进制即可，再加上没什么好解释的正负号 sign（标志位）（0 即为正数）
所以举例的
0100000001101101001000000000000000000000000000000000000000000000
其实就是以 IEEE-754 标准储存的 233
特殊情况
当 exponent（指数）为 -1023（也就是最小值，二进制表示为 7 个 0）时，是一种名为 denormalized 的特殊情况。
其表现为当前值的计算公式改为：
0.f × 2−1022
这就是 f 前不为 1 的特殊情况，这种情况可以用于表示极小的数字
总结
这位大佬的总结过于精辟：
| 表达式 | 取值 |
|---|---|
| (−1)s × %1.f × 2e−1023 | normalized, 0 < e < 2047 |
| (−1)s × %0.f × 2e−1022 | denormalized, e = 0, f > 0 |
| (−1)s × 0 | e = 0, f = 0 |
| NaN | e = 2047, f > 0 |
| (−1)s × ∞ (infinity) | e = 2047, f = 0 |
第一行正常情况，第二行是上面说的 0.f denormalized，第三行其实就是全 0。
第四第五行就是 e 的 11 位为全 1，如果 f 大于 0 就是 NaN，f 等于 0 就是无限大。
动手转换 IEEE-754
使用上面总结的公式，将 IEEE-754 算回十进制应该不难，但是自己动手，如何通过十进制数算出 IEEE-754 呢？
我们整一个看起来还挺简单的数字：-5432.1，再贴一下 64 bit 的组成图，免得大家翻来翻去
step1
看到负号，毫无疑问地，sign 就是 1 了，我们获得了第一块拼图，s = 1。
step2
第二步，将 432.1 转为二进制。
正数部分转换，直到结果为 0 时停止：
| 计算 | 结果 | 余数 |
|---|---|---|
| 432/2 | 216 | 0 |
| 216/2 | 108 | 0 |
| 108/2 | 54 | 0 |
| 54/2 | 27 | 0 |
| 27/2 | 13 | 1 |
| 13/2 | 6 | 1 |
| 6/2 | 3 | 0 |
| 3/2 | 1 | 1 |
| 1/2 | 0 | 1 |
由下往上写出结果：110110000
负数部分转换，直到结果为 0 时停止：
| 计算 | 结果 | 个位 |
|---|---|---|
| 0.1*2 | 0.2 | 0 |
| 0.2*2 | 0.4 | 0 |
| 0.4*2 | 0.8 | 0 |
| 0.8*2 | 1.6 | 1 |
| 0.6*2 | 1.2 | 1 |
| 0.2*2 | 0.4 | 0 |
| 0.4*2 | 0.8 | 0 |
| 0.8*2 | 1.6 | 1 |
| 0.6*2 | 1.2 | 1 |
| 0.2*2 | 0.4 | 0 |
| 0.4*2 | 0.8 | 0 |
| 0.8*2 | 1.6 | 1 |
| 0.6*2 | 1.2 | 1 |
就像十进制的三分一等于 0.33333333……，二进制的“十”分一等于 0.00011001100110011……，都是无限循环小数。
接着组合整数与小数部分：110110000.0[0011]
step3
转换为 1.f × 2e−1023 的格式
1.1011000000011001100110011001100110011001100110011010 × 28
用无限循环小数填满 f 的 52 位，
f = 1011000000011001100110011001100110011001100110011010
8 = e−1023，则 e 为 1031，转为二进制，
e = 10000000111
step4
拼图都凑齐了，组合在一起吧！s + e + f！
1100000001111011000000011001100110011001100110011001100110011010
这就是 IEEE-754 双精度浮点数 -5432.1 的真身。
为什么算不准
程序员们因为精度丢失苦不堪言，这个问题不仅仅发生在 JavaScript 里，只是可怜的 JavaScript 奇怪的设定更多，大家就经常把 0.1 + 0.2 的问题绑定到 JavaScript 身上，其实 Java 等使用 IEEE-754 标准的语言都会有这个问题（然而 Java 还有 BigDecimal，JavaScript 只能哭哭 
那么到底为什么会算不准呢？
情况一
先说最常见的一种情况：
0.1 + 0.2 // 0.30000000000000004
1 - 0.9 // 0.09999999999999998
0.0532 * 100 // 5.319999999999999
说回产生的原因吧，其实跟上面算 0.1 一样，就是因为 除 不 尽。
但是为什么？！明明直接打印出来他就是正常的 0.1 啊！为什么 1 - 0.9 出来的 0.1 就不是了 0.1 了！
下面我只是肤浅地推测一下：
console.log((0.1).toFixed(30))
// 输出 '0.100000000000000005551115123126'
console.log((1.1 - 1).toFixed(30))
// 输出 '0.100000000000000088817841970013'
通过 toFixed 我们可以看到更精确的 0.1 到底是个什么数字，而且也能清楚看到 0.1 和 1.1 - 1 出来的根本不是同一个数字，尽管在十进制看来这就是 0.1，但是在二进制看来这就是除不尽的数，所以进行计算后就会有轻微的不同。
那到底什么情况下的“0.1”才会被当成“0.1”呢？答案是：
- 小于 0.1000000000000000124（等等等等）
- 大于 0.0999999999999999987（等等等等）
至于要准确知道 IEEE-754 怎么进行“估值”，这里或许能找到答案，好奇宝宝们可以钻研一下
总之，因为除不尽，再加上计算中带来的误差，超过一定的值，某个数就变成另一个数了。
情况二
第二种算不准的情况就是因为实在太大了。
我们已知双精度浮点数有 52 位小数，算上前面的 1，那么最大且能准确表示的整数，就是 Math.pow(2,53)。
console.log(Math.pow(2, 53))
// 输出 9007199254740992
console.log(Math.pow(2, 53) + 1)
// 输出 9007199254740992
console.log(Math.pow(2, 53) + 2)
// 输出 9007199254740994
为什么 +2 又准了呢？，因为在这个范围内 2 的倍数仍可以被准确表示。再往上，当数字到达 Math.pow(2,54) 之后，就只能准确表示 4 的倍数了，55 次方是 8 的倍数，以此类推。
console.log(Math.pow(2, 54))
// 输出 18014398509481984
console.log(Math.pow(2, 53) + 2)
// 输出 18014398509481984
console.log(Math.pow(2, 53) + 4)
// 输出 18014398509481988
所以浮点数虽然可以表示极大和极小的数字，但是不那么准确，不过，也总比定点数完全没法表示要好一点吧。
实用链接
十进制转 IEEE-754
IEEE-754 转十进制
自己动手的十进制转 IEEE-754
以上是 为什么会精度丢失？教你看懂 IEEE-754！ 的全部内容， 来源链接： utcz.com/a/45424.html
